La matematica della distanza sociale è una lezione di geometria
L'imballaggio delle sfere potrebbe sembrare un argomento che solo un matematico può amare. Chi altri potrebbe essere entusiasta di trovare il modo più efficiente per organizzare i cerchi nell'aereo o le sfere nello spazio?
Ma proprio ora, milioni di persone in tutto il mondo stanno pensando proprio a questo problema.
Determinare come riaprire in sicurezza edifici e spazi pubblici a distanza sociale è in parte un esercizio di geometria: se ogni persona deve tenersi a sei piedi di distanza da tutti gli altri, quindi capire quante persone possono sedere in una classe o in una sala da pranzo è una domanda sull'imballaggio di cerchi non sovrapposti in planimetrie.
Ovviamente c'è molto di più nell'affrontare COVID oltre a questo problema di geometria. Ma l'imballaggio del cerchio e della sfera gioca un ruolo, proprio come nella modellazione delle strutture cristalline in chimica e degli spazi astratti dei messaggi nella teoria dell'informazione. È un problema dal suono semplice che ha occupato alcuni dei più grandi matematici della storia, e ancora oggi sono in corso ricerche entusiasmanti, in particolare nelle dimensioni più elevate. Ad esempio, i matematici hanno recentemente dimostrato il modo migliore per impacchettare le sfere nello spazio a 8 e 24 dimensioni, una tecnica essenziale per ottimizzare i codici di correzione degli errori utilizzati nei telefoni cellulari o per comunicare con le sonde spaziali . Diamo quindi un'occhiata ad alcune delle sorprendenti complicazioni che sorgono quando proviamo a riempire lo spazio con la nostra forma più semplice.
Se il tuo lavoro prevede il confezionamento di arance in una scatola o l'inserimento sicuro degli studenti a distanza sociale, le dimensioni e la forma del tuo contenitore sono una componente cruciale del problema. Ma per la maggior parte dei matematici, la teoria dell'imballaggio della sfera riguarda il riempimento di tutto lo spazio. In due dimensioni, questo significa coprire il piano con cerchi della stessa dimensione che non si sovrappongono.
Ecco un esempio di imballaggio dei cerchi nell'aereo. Potrebbe ricordare la vista laterale di un caso di lattine di soda:
Puoi immaginare questo schema ripetersi in ogni direzione, come una piastrellatura dell'aereo. I piccoli spazi tra i cerchi indicano che l'aereo non è interamente coperto, ma è prevedibile con gli imballaggi dei cerchi. Invece, siamo interessati a quale percentuale dell'aereo è coperta. Questa è nota come "densità di impaccamento" della disposizione.
La disposizione sopra è chiamata imballaggio quadrato, e per una buona ragione: possiamo immaginare i centri dei cerchi come vertici di quadrati.
In effetti, i quadrati stessi piastrellano l'aereo.
La simmetria di questa piastrellatura semplifica il nostro lavoro. Poiché questi quadrati coprono l'intero piano in modo regolare, la percentuale del piano coperto da cerchi è uguale alla percentuale di ogni quadrato coperto da cerchi. Quindi diamo un'occhiata più da vicino a uno di quei quadrati.
Supponiamo che ogni cerchio abbia raggio r . Ciò significa che il quadrato ha una lunghezza laterale di 2r . Ciascuno dei quattro vertici del quadrato è coperto da un quarto di cerchio, quindi la percentuale di ciascun quadrato coperto è solo il rapporto tra l'area di un cerchio completo e l'area di un quadrato:
$ latex frac { pi r ^ {2}} {(2 r) ^ {2}} $ = $ latex frac { pi r ^ {2}} {4 r ^ {2}} $ = $ latex frac { pi} {4} $ ≈ 0,7854
Ogni quadrato è coperto per circa il 78,54% da cerchi, quindi dal nostro argomento di piastrellatura, l'intero piano è coperto per circa il 78,54% da cerchi. Questa è la densità dell'imballaggio quadrato. (Notate come il raggio r esce dalla nostra risposta: questo ha senso perché non importa quanto sia grande il cerchio, il quadrato conterrà comunque quattro quarti di cerchio.)
Ora, se hai mai provato a impilare le lattine di soda sui loro lati in questo modo, solo per vederle scivolare e scivolare negli spazi vuoti, sai che c'è un altro modo per impacchettare i cerchi nell'aereo.
Adottando un approccio simile a quello che abbiamo fatto sopra, possiamo immaginare i centri dei cerchi in questa disposizione come vertici di esagoni regolari.
Lo chiamiamo un imballaggio esagonale. Questa disposizione sembra riempire gli spazi vuoti in modo più efficiente rispetto all'imballaggio quadrato. Per verificare, confrontiamo le loro densità di imballaggio. Proprio come i quadrati, gli esagoni piastrellano il piano, quindi possiamo determinare la densità di impaccamento di questa disposizione analizzando un singolo esagono.
Quanto di questo esagono è coperto da cerchi? Poiché l'angolo interno di un esagono regolare è di 120 gradi, esiste un terzo di un cerchio su ciascuno dei sei vertici dell'esagono. Ciò aggiunge fino a due cerchi completi e quello al centro ne fa tre. Quindi ogni esagono è coperto da tre cerchi. Se ogni cerchio ha raggio r , questa è un'area totale di 3π r² .
Come si confronta con l'area dell'esagono? Un esagono di lunghezza laterale s è in realtà sei triangoli equilateri di lunghezza laterale s , ciascuno con area $ latex frac {s ^ {2} sqrt {3}} {4} $. Quindi l'esagono ha un'area 6 × $ latex frac {s ^ {2} sqrt {3}} {4} $ = $ latex frac {6 s ^ {2} sqrt {3}} {4} $. Poiché la lunghezza laterale dell'esagono nel nostro imballaggio è 2r , la sua area è:
$ latex frac {6 s ^ {2} sqrt {3}} {4} $ = $ latex frac {6 (2 r) ^ {2} sqrt {3}} {4} $ = $ latex frac {24 r ^ {2} sqrt {3}} {4} $ = $ latex 6 r ^ {2} sqrt {3} $
Quindi ora possiamo calcolare la percentuale dell'area dell'esagono coperta da cerchi (dividendo l'area di tre cerchi per l'area dell'esagono):
$ latex frac {3 pi r ^ {2}} {6 r ^ {2} sqrt {3}} $ = $ latex frac {3 pi} {6 sqrt {3}} $ = $ latex frac { pi} {2 sqrt {3}} $ = 0,9069
Ogni esagono è coperto per circa il 90,69% da cerchi, rendendolo un imballaggio molto più efficiente della disposizione quadrata. (Notate come il raggio del cerchio è nuovamente caduto, come dovremmo aspettarci.) In effetti, nessuna disposizione è più efficiente.
Dimostrare ciò non è stato facile: famosi matematici come Joseph Louis Lagrange e Carl Friedrich Gauss hanno iniziato i lavori tra la fine del XVIII e l'inizio del XIX secolo, ma il problema non è stato completamente risolto fino agli anni '40, quando tutte le possibili disposizioni – sia regolari che irregolare – sono stati rigorosamente trattati. Che ci sia voluto così tanto tempo per gestire il problema in due dimensioni, in cui le cose sono relativamente facili da visualizzare, è un avvertimento di ciò che verrà nelle dimensioni più elevate.
Il confezionamento di sfere in tre dimensioni è un problema molto più complicato, sebbene condivida alcune caratteristiche con il suo parente bidimensionale. Ad esempio, gli imballaggi bidimensionali che abbiamo visto sono costruiti da un singolo strato.
Nella confezione quadrata, mettiamo ogni nuovo strato direttamente sopra il precedente.
Nell'imballaggio esagonale, annidiamo ogni nuovo strato negli spazi del precedente.
Otteniamo imballaggi diversi a seconda di come mettiamo insieme copie di ogni livello.
In tre dimensioni, diversi imballaggi fondamentali derivano da strati sovrapposti come questo.
Questo è uno strato di sfere imballate in modo esagonale, come il nostro imballaggio ottimale di cerchi nel piano. Allo stesso modo, puoi impilare un secondo strato sopra questo, annidandolo negli spazi tra le sfere.
Ma la geometria è un po 'più complicata in tre dimensioni. In ogni strato di sfere, la distanza tra gli spazi adiacenti è inferiore alla distanza tra i centri delle sfere. Quindi non puoi mettere una sfera in ogni spazio: si sovrappongono. Ciò significa che gli spazi vuoti nei due strati si allineano, creando piccoli canali attraverso l'imballaggio.
Quando si posiziona un terzo livello, sono disponibili due opzioni. Uno è allineare le lacune e mantenere aperti i canali. Ecco una vista laterale dell'accordo:
Per mantenere aperti i canali, posizionare le sfere nel terzo strato direttamente sopra le sfere nel primo, come mostrato sopra. Questa disposizione di sfere è chiamata "esagonale a impacchettamento ravvicinato" (HCP) e puoi vedere i passaggi aperti quando guardi verso il basso attraverso l'imballaggio.
L'altra opzione per il terzo strato è quella di chiudere i passaggi. Metti le sfere nel terzo strato direttamente sopra gli spazi nel primo:
È noto come "cubo centrato sulla faccia" (FCC) o "cubic close-packed". Guardando in basso non è possibile vedere attraverso l'imballaggio.
Queste due disposizioni simili ma fondamentalmente diverse si presentano in chimica, dove descrivono le disposizioni degli atomi in materiali diversi. (Ad esempio, metalli come l'argento e l'oro possiedono la struttura FCC, mentre i metalli come lo zinco e il titanio possiedono la struttura HCP. E proseguendo con entrambi i motivi è possibile riempire lo spazio di sfere: in una disposizione HCP ogni altro strato ha sfere nella stessa posizione esatta, mentre in FCC ogni terzo strato ha sfere nella stessa posizione. Puoi effettivamente creare infiniti imballaggi diversi mescolando i modelli, ma la cosa più notevole dei modelli HCP e FCC è che entrambi producono imballaggi ottimali! Non solo hanno la stessa densità di impacchettamento di $ latex frac { pi} {3 sqrt {2}} $ ≈ 0,7405, ma sono gli imballaggi più densi possibili di sfere nello spazio tridimensionale. Johannes Kepler, il famoso matematico e astronomo, lo ipotizzò nel 1611, ma ci volle fino al 1998 per il matematico Thomas Hales per fornire una prova completa .
Lo spazio extra per spostarsi in tre dimensioni ci dà più modi per imballare le sfere in modo efficiente. E l'imballaggio diventa ancora più complicato quando si aggiungono dimensioni: c'è più spazio per più possibilità ed è anche più difficile da visualizzare. Non solo, le sfere si riducono in dimensioni superiori!
Considera un cerchio inscritto in un quadrato di lunghezza laterale 1.
Il cerchio ha raggio r = $ latex frac {1} {2} $, quindi il rapporto tra l'area del cerchio e l'area del quadrato è:
$ latex frac { pi r ^ 2} {s ^ 2} $ = $ latex frac { pi left ( frac {1} {2} right) ^ {2}} {1 ^ {2} } $ = $ latex frac { pi} {4} $ ≈ 0,7854
Che è anche la densità del nostro imballaggio quadrato in due dimensioni.
Ora considera il volume di una sfera inscritta in un cubo unitario.
Ancora una volta la sfera ha raggio r = $ latex frac {1} {2} $, quindi il rapporto tra il volume della sfera e quello del cubo è:
$ latex frac { frac {4} {3} pi r ^ {3}} {s ^ {3}} $ = $ latex frac { frac {4} {3} pi left ( frac {1} {2} right) ^ {3}} {1 ^ {2}} $ = $ latex frac {4} {3} pi left ( frac {1} {8} right) $ = $ latex frac { pi} {6} $ ≈ 0,5236
Si noti che la quota del cubo occupata dalla sfera inscritta in tre dimensioni è inferiore alla quota del quadrato occupato dal cerchio inscritto in due dimensioni. Questo modello continua: all'aumentare della dimensione, questo rapporto diminuisce. Vale a dire, le sfere n- dimensionali occupano sempre meno spazio n- dimensionale man mano che n diventa più grande.
Questo può essere mostrato usando il calcolo, ma possiamo anche capirlo solo pensando agli angoli. In ogni dimensione possiamo iscrivere una sfera n- dimensionale all'interno di un cubo n- dimensionale. La sfera tocca le facce del cubo ma non raggiunge gli angoli, quindi dietro ogni angolo c'è una regione che è dentro il cubo ma fuori dalla sfera. Ma una casella n- dimensionale ha 2 $ latex ^ {n} $ angoli, il che significa che all'aumentare di n , il numero di regioni scoperte dalla sfera cresce esponenzialmente. Non solo, cresce anche la distanza tra gli angoli e la sfera. Ciò significa che a lungo termine lo spazio all'interno del cubo n- dimensionale ma al di fuori della sfera n- dimensionale sminuisce lo spazio che la sfera occupa.
Se le sfere che si restringono non sono abbastanza strane, i matematici che riempiono le sfere notarono qualcosa di ancora più sorprendente nelle dimensioni 8 e 24. Le sfere in quelle dimensioni si restrinsero nella giusta quantità per poter riempire i vuoti con nuove sfere, producendo imballaggi ultra densi quegli spazi di dimensione superiore. Queste disposizioni speciali sono state ipotizzate ottimali, ma i matematici non lo sapevano per certo fino al 2016, quando Maryna Viazovska lo ha dimostrato per l'imballaggio dimensione 8. Entro una settimana, Viazovska e collaboratori hanno esteso il suo metodo per dimostrare anche il caso 24-dimensionale.
Il lavoro di Viazovska significa che ora conosciamo i modi più efficienti per imballare le sfere nelle dimensioni 1, 2, 3, 8 e 24. Ma c'è ancora molto lavoro da fare nelle altre dimensioni. Quindi esci dalle arance e dalle lattine di soda e inizia a sperimentare. Forse sarai tu ad aiutarti a colmare le lacune.
esercizi
1. Supponiamo di iniziare un impacchettamento del piano di coordinate come mostrato di seguito, con il cerchio in basso a sinistra centrato su (0, 0) e il cerchio in basso a destra centrato su (2, 0):
Dov'è il centro del terzo cerchio?
2. Di seguito è riportato l'inizio di un impacchettamento di sfere "centrato sul corpo". Qual è la densità di imballaggio di questa disposizione?
3. Ecco l'inizio di un impaccamento dell'aereo usando ottagoni regolari.
Qual è la densità di questo imballaggio?
risposte
Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all'URL https://www.quantamagazine.org/the-math-of-social-distancing-is-a-lesson-in-geometry-20200713/ in data Mon, 13 Jul 2020 14:40:20 +0000.