Come risolvere equazioni ostinate come una capra

7 Maggio 2021 Babele Oggi

Gli insegnanti di matematica hanno ostacolato gli studenti per centinaia di anni conficcando capre in campi dalla forma strana. Scopri perché un problema di capra al pascolo ha lasciato perplessi i matematici per più di un secolo.

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Se hai mai sostenuto un test di matematica, probabilmente hai incontrato una capra al pascolo. Di solito è legato a un paletto o al lato di qualche fienile, lasciato lì da un contadino distratto a pascolare sull'erba che può raggiungere. Quando incontri una capra al pascolo, il tuo compito è calcolare l'area totale della regione su cui può pascolare. È un test di matematica, dopotutto.

Gli insegnanti di matematica hanno ostacolato gli studenti conficcando capre in campi dalla forma strana per centinaia di anni, ma un particolare problema di capre al pascolo ha preso la capra dei matematici per più di un secolo. Fino all'anno scorso erano solo in grado di trovare risposte approssimative al problema e ci voleva un nuovo approccio con una matematica molto avanzata per produrre finalmente una soluzione esatta. Diamo un'occhiata a come una domanda che potresti trovare in un test di matematica può trasformarsi in un problema che lascia perplessi i matematici per oltre un secolo.

Il tipo più semplice di problema della capra al pascolo ha l'animale affamato attaccato al lato di un lungo fienile da una lunghezza fissa di corda.

Di solito in questi problemi vogliamo trovare l'area della regione a cui la capra ha accesso. Che aspetto ha quella regione?

Con il guinzaglio teso la capra può fare un semicerchio e può raggiungere qualsiasi cosa al suo interno. L'area di un cerchio è A = πr ² , quindi l'area di un semicerchio è A = $ latex frac {1} {2} $ πr ² . Se, ad esempio, la corda ha lunghezza 4, la capra potrebbe pascolare in una regione con area A = $ latex frac {1} {2} $ π × 4 ² = 8 π unità quadrate.

Questa configurazione semplice non rappresenta una grande sfida per lo studente di matematica o per la capra, quindi rendiamola più interessante. E se la capra fosse legata al lato di un fienile quadrato?

Supponiamo che la fune e il lato del fienile abbiano entrambi lunghezza 4 e che la fune sia attaccata al centro di un lato. Qual è l'area della regione a cui ha accesso la capra adesso?

Ebbene, la capra ha ancora accesso allo stesso semicerchio del primo problema.

Ma la capra può anche continuare dietro l'angolo della stalla. Una volta che è all'angolo, la capra ha altre due unità di corda con cui lavorare, quindi può spazzare via un altro quarto di cerchio di raggio 2 su entrambi i lati del fienile.

La capra può accedere al semicerchio di raggio 4 più due quarti di cerchio di raggio 2, per un'area totale di A = $ latex frac {1} {2} $ π × 4 ² + $ latex frac {1} {4} $ π × 2 ² + $ latex frac {1} {4} $ π × 2 ² = 10 π unità quadrate.

Puoi rendere il problema più impegnativo modificando la forma dell'ostruzione. Ho visto capre attaccate a triangoli, esagoni e persino forme concave.

Puoi anche creare una nuova domanda di matematica da una vecchia invertendola: invece di iniziare con la lunghezza della corda e trovare l'area, puoi iniziare con l'area e trovare la lunghezza della corda.

Ad esempio, rimaniamo con la nostra stalla quadrata e facciamo una nuova domanda: quanto dovrebbe essere lunga la corda perché la capra abbia accesso a un totale di 50 unità quadrate di superficie? Invertire un problema di matematica può dare nuova vita a una vecchia idea, ma rende anche questo problema molto più impegnativo.

Innanzitutto, nota che la forma della regione dipende dalla lunghezza della corda. Ad esempio, se la corda è più corta di 2 unità di lunghezza, la capra non può aggirare l'angolo della stalla, quindi la regione sarà solo un semicerchio.

Se la corda è più lunga di 2 unità, la capra può girare l'angolo, come abbiamo visto sopra.

E se la corda è più lunga di 6 unità, la capra può mettersi dietro la stalla, creando un'altra serie di quarti di cerchio da considerare. (Se la corda diventa molto più lunga, ci sarà una sovrapposizione. Vedi gli esercizi alla fine della colonna per un esempio di questo.)

Vogliamo trovare la lunghezza della fune che ci dà 50 unità quadrate di area totale. Il modo per farlo matematicamente è impostare la nostra formula dell'area uguale a 50 e risolvere per r . Ma ogni tipo di regione ha una formula di area diversa. Quale usiamo?

Capirlo richiede un po 'di lavoro sul caso. Se r ≤ 2 l'area della regione è A = $ latex frac {1} {2} $ πr ² . L'area più grande si verifica quando r = 2, che produce un'area totale di A = $ latex frac {1} {2} $ π × 2 ² = 2 π ≈ 6,28. Questo è inferiore a 50, quindi sappiamo che abbiamo bisogno di più di 2 unità di corda.

Se 2 < r ≤ 6, questo ci dà il semicerchio più i due quarti di cerchio che abbiamo incontrato prima. Il raggio del semicerchio è r , e il raggio del quarto di cerchio è r – 2, poiché sono necessarie due unità di corda per arrivare all'angolo e qualsiasi corda rimanga agisce come il raggio del quarto di cerchio centrato nell'angolo.

L'area di questo semicerchio è $ latex frac {1} {2} $ πr ² e l'area di ogni quarto di cerchio è $ latex frac {1} {4} $ π ( r – 2) ² . Aggiungendo questo si ottiene un'area totale di

$ latex begin {align} A & = frac {1} {2} pi r ^ {2} + frac {1} {4} pi (r-2) ^ {2} + frac {1} {4} pi (r-2) ^ {2} \
\ A & = frac {1} {2} pi r ^ {2} + frac {1} {2} pi (r-2) ^ {2}. End {align} $

Otteniamo l'area più grande possibile quando r = 6, che dà un'area di A = $ latex frac {1} {2} $ π × 6 ² + $ latex frac {1} {2} $ π × 4 ² = 26 π ≈ 81,68 unità quadrate. Poiché 50 <26 π , ciò significa che la r che ci darà 50 unità quadrate di area deve essere inferiore a 6.

Sapere che r deve essere compreso tra 2 e 6 unità risolve la questione di quale formula dell'area dovremmo usare: quando 2 < r ≤ 6, l'area è A = $ latex frac {1} {2} $ πr ² + $ latex frac {1} {2} $ π ( r – 2) ² . Per trovare il valore esatto di r che ci dà 50 unità quadrate di area, impostiamo questa equazione:

50 = $ latex frac {1} {2} $ πr ² + $ latex frac {1} {2} $ π ( r – 2) ² .

Si noti che questo è un altro modo in cui la nostra domanda al contrario è più complicata dell'originale: invece di calcolare semplicemente l'area che la capra può raggiungere, dobbiamo risolvere un'equazione per calcolare la lunghezza della corda. Per fare ciò, dobbiamo isolare r . Dobbiamo usare l'aritmetica e l'algebra per ottenere r da solo su un lato dell'equazione, e questo ci dirà esattamente cosa deve essere r .

La nostra equazione può sembrare un po 'intimidatoria all'inizio, ma è solo un'equazione quadratica in r . Esiste una procedura standard per risolvere tali equazioni: la riorganizziamo nella forma ar ² + br + c = 0 e quindi usiamo la formula quadratica. Un po 'di algebra e aritmetica fa il trucco.

50 = $ latex frac {1} {2} $ π ² + $ latex frac {1} {2} $ π ( r – 2) ²

$ latex frac {100} { pi} $ = r ² + ( r – 2) ²

$ latex frac {100} { pi} $ = 2 r ² – 4 r + 4

0 = 2 r ² – 4 r + 4 – $ latex frac {100} { pi} $.

Questa potrebbe non essere la più bella espressione matematica del mondo, ma è solo un'equazione quadratica, quindi possiamo applicare la formula quadratica per risolvere esattamente per r . Questo ci dà una risposta di

r = 1 + $ latex sqrt { frac {50} { pi} – 1} $ ≈ 4,86.

Poiché siamo stati in grado di isolare r nella nostra equazione, ora sappiamo esattamente quanto deve essere lunga la fune per ottenere un'area di 50 unità quadrate. (Si noti che il valore di r che abbiamo trovato è compreso tra 2 e 6, come previsto.)

Per quanto questo problema di pascolo delle capre invertito sia stato impegnativo rispetto a quelli iniziali che abbiamo esaminato, i matematici hanno scoperto che il problema diventa ancora più impegnativo quando si infila la capra nella stalla. Così impegnativo, infatti, che non sono riusciti a risolverlo esattamente.

Mettiamo la capra all'interno della nostra stalla quadrata con lato di lunghezza 4 e fissiamo la corda al centro di un muro. Quanto deve essere lunga la corda perché la capra abbia accesso a metà dell'area all'interno della stalla?

Come sopra, parte della sfida è che la forma della regione dipende dal valore di r . Per ottenere la metà della superficie della piazza abbiamo bisogno r per essere più lungo della metà del lato della stalla, ma più corto del lato completo, che ci dà una regione come questa.

Trovare una formula per l'area di questa regione non è così facile. Possiamo immaginare la regione come un settore di un cerchio di raggio r più due triangoli rettangoli, quindi utilizzare la geometria delle scuole superiori per ottenere una formula. Ma come vedremo presto, la mescolanza di cerchi e triangoli causerà qualche problema.

Cominciamo con i triangoli. Il teorema di Pitagora ci dice che la lunghezza della gamba mancante in ogni triangolo rettangolo è $ latex sqrt {r ^ {2} -4} $. Questo rende l'area di uno dei triangoli $ latex frac {1} {2} $ × 2 × $ latex sqrt {r ^ {2} – 4} $ = $ latex sqrt {r ^ {2} – 4 } $, quindi i due triangoli insieme hanno un'area di 2 $ latex sqrt {r ^ {2} -4} $.

Ora per il settore circolare.

L'area di un settore è A = $ latex frac {1} {2} r ^ {2} $ θ , dove θ è la misura dell'angolo centrale (in radianti, non in gradi). Abbiamo bisogno di una formula per l'area in termini di r , quindi dobbiamo esprimere l'angolo θ in termini di r . Per fare questo, useremo la legge del coseno, un teorema sottovalutato dalla trigonometria delle scuole superiori.

Applicando la legge dei coseni al triangolo isoscele con lati r , r e 4 ci dà

4 ² = r ² + r ² – 2 r ² cos θ ,

che possiamo risolvere per cos θ :

cos θ = $ latex frac {2 r ^ {2} -16} {2 r ^ {2}} $ = $ latex frac {r ^ {2} -8} {r ^ {2}} $.

Per isolare θ , dobbiamo prendere il coseno inverso, o arcoseno, di entrambi i lati dell'equazione. Questo ci dà

θ = arccos $ latex left ( frac {r ^ {2} -8} {r ^ {2}} right) $.

Ora abbiamo l'angolo θ in termini di r , quindi ora possiamo esprimere l'area del nostro settore solo in termini di r e r .

A = $ latex frac {1} {2} $ r ² θ

A = $ latex frac {1} {2} $ r ² arccos $ latex left ( frac {r ^ {2} -8} {r ^ {2}} right) $.

La nostra formula dell'area finale è la somma dell'area del settore e dell'area dei due triangoli, che è

A = $ latex frac {1} {2} $ r ² arccos $ latex left ( frac {r ^ {2} -8} {r ^ {2}} right) $ + 2 $ latex sqrt { r ^ {2} -4} $.

Ora abbiamo una formula per l'area della regione accessibile alla capra all'interno della piazza interamente in termini di r . Ora dobbiamo solo trovare il valore di r che dà alla capra l'accesso a metà quadrato. L'intero quadrato ha area 16, quindi tutto ciò che dobbiamo fare è inserire A = 8 nella nostra equazione e risolvere per r e avremo finito.

8 = $ latex frac {1} {2} $ r ² arccos $ latex left ( frac {r ^ {2} -8} {r ^ {2}} right) $ + 2 $ latex sqrt { r ^ {2} -4} $.

C'è solo un piccolo problema: non è possibile risolvere per r in questa equazione.

Cioè, non è possibile risolvere esattamente per r in questa equazione. Possiamo usare una calcolatrice per approssimare il valore di r che rende vera questa equazione ( r ≈ 2,331), ma non possiamo isolare r nella nostra equazione. La combinazione di funzioni trigonometriche e funzioni polinomiali nella nostra equazione crea ostacoli che non possiamo aggirare.

Potremmo provare a estrarre le r dall'interno della funzione arcoseno, ma per farlo dovremmo mettere le altre r all'interno di una funzione coseno. In ogni caso avremmo a che fare con un'equazione che coinvolge una funzione trascendentale, come una funzione esponenziale o trigonometrica. Le funzioni trascendentali non possono essere semplicemente espresse in termini di normali operazioni algebriche come addizione e moltiplicazione, e quindi in generale le equazioni trascendentali non possono essere risolte esattamente.

Questo problema è al centro di un famoso problema della capra al pascolo posto nel 19 ° secolo, quando la capra era collocata all'interno di un fienile circolare. Come nel nostro problema con la stalla quadrata, l'obiettivo era determinare quanto tempo doveva essere la corda perché la capra avesse accesso a metà della regione.

La regione accessibile dalla capra assume la forma di una "lente": due segmenti circolari impilati insieme.

È possibile utilizzare la geometria delle scuole superiori per trovare l'area di questa lente in termini di lunghezza della corda r, ma la formula è molto più complicata di quanto non lo sia per il quadrato. E quando lo imposti uguale alla metà dell'area del fienile circolare, incappi nello stesso problema in cui ci siamo imbattuti all'interno del quadrato: non puoi isolare r . Puoi approssimarlo, ma non puoi risolvere esattamente per r .

Questo tipo di ostinazione non è più allettante in un'equazione di quanto non lo sia in una capra. Per oltre 100 anni, i matematici hanno cercato di trovare una soluzione esatta a questo puzzle di capra in cerchio, ma solo l'anno scorso un matematico tedesco l'ha finalmente capito . Ha usato l'analisi complessa – matematica molto lontana dalla geometria dei cerchi e dei quadrati su cui si basa la maggior parte dei problemi delle capre – per risolvere esplicitamente. E mentre usare qualcosa di così avanzato come un integrale di contorno per trovare la lunghezza del guinzaglio di una capra può sembrare eccessivo, c'è sempre una soddisfazione matematica nel fare ciò che non si poteva fare prima. E c'è sempre la possibilità che questi nuovi metodi, anche se nascono dallo studio di uno sciocco problema sulle capre, possano portare a intuizioni oltre l'aia.

Esercizi

1. Se la capra è attaccata al centro del lato di una stalla quadrata con lato di lunghezza 4 da una corda di lunghezza 8, all'esterno della stalla, qual è l'area della regione alla quale ha accesso la capra?

2. Se la capra è attaccata all'angolo di una stalla quadrata con lato di lunghezza 4 da una corda di lunghezza 8, all'esterno della stalla, qual è l'area della regione alla quale ha accesso la capra?

3. Supponiamo che la capra si trovi all'interno di un triangolo equilatero del lato 4 attaccato a un vertice. Quanto dovrebbe essere lunga la corda perché la capra abbia accesso a metà triangolo?

4. Se la capra è attaccata al centro del lato di una stalla quadrata con lato di lunghezza 4 da una corda di lunghezza 10, all'esterno della stalla, qual è l'area della regione alla quale ha accesso la capra?

Risposte

Fare clic per la risposta 1:

La regione è composta da un semicerchio di raggio 8, due quarti di cerchio di raggio 6 e due quarti di cerchio di raggio 2. Poiché 8 è uguale alla metà del perimetro della stalla, i due semicerchi dietro il fienile si incontrano nel punto medio. L'area di questa regione è $ latex frac {1} {2} $ π × 8 ² + $ latex frac {1} {2} $ π × 6 ² + $ latex frac {1} {2} $ π × 2 ² = 52 π .

Fare clic per la risposta 2:

Questa regione è composta da tre quarti di un cerchio di raggio 8 e due quarti di cerchio di raggio 4.

Questa area è $ latex frac {3} {4} $ π × 8 ² + $ latex frac {1} {2} $ π × 4 ² = 56 π . Come sfida, pensa a cosa succede se la corda ha lunghezza 10.

Fare clic per la risposta 3:

Poiché gli angoli di un triangolo equilatero sono di 60 gradi, la regione a cui ha accesso la capra è un sesto di un cerchio di raggio r , che ha area $ latex frac {1} {6} $ πr ² .

L'area di un triangolo equilatero è $ latex frac { sqrt {3}} {4} $ s ² , quindi l'area del triangolo di lunghezza del lato 4 è $ latex frac { sqrt {3}} {4} $ × 4 ² = 4 $ latex { sqrt {3}} $. Impostiamo le due aree uguali, $ latex frac {1} {6} $ πr ² = $ latex frac {1} {2} $ × 4 $ latex { sqrt {3}} $, e risolviamo per r in ottieni r = $ latex sqrt { frac {12 sqrt {3}} { pi}} $. Nota come possiamo risolvere esattamente per r qui, a differenza di quando la regione mescola settori circolari e triangoli.

Fare clic per la risposta 4:

La regione è apparentemente composta da un semicerchio di raggio 10, due quarti di cerchio di raggio 8 e due quarti di cerchio di raggio 4. Questo ha un'area di $ latex frac {1} {2} $ π × 10 ² + $ latex frac {1} {2} $ π × 8 ² + $ latex frac {1} {2} $ π × 4 ² = 90 π . Ma gli ultimi due quarti di cerchio si sovrappongono dietro il granaio. Quella sovrapposizione è stata contata due volte, quindi dobbiamo sottrarre l'area di sovrapposizione da 90 π . L'area di sovrapposizione può essere pensata come due sesti di cerchi di raggio 4 meno un triangolo equilatero di lato 4. L'area di questa regione arriva a 2 ×
$ latex frac {1} {6} $ π × 4 ² – $ latex frac { sqrt {3}} {4} $ × 4 ² = $ latex frac {16} {3} $ π – 4 $ latex { sqrt {3}} $. Quindi l'area totale è 90 π – $ latex left ( frac {16} {3} pi-4 sqrt {3} right) $ = $ latex frac {254} {3} $ π + 4 $ latex { sqrt {3}} $. (Nota: questa sovrapposizione sarebbe molto più difficile da trovare se i due cerchi avessero raggi diversi, motivo per cui trovare l'area dell'obiettivo sopra menzionata è così difficile.)

Il postCome risolvere equazioni ostinate come una capra è apparso per la prima volta su Quanta Magazine .

Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all'URL https://www.quantamagazine.org/solve-math-equations-that-are-stubborn-as-a-goat-20210506/ in data Thu, 06 May 2021 15:49:51 +0000.

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