Il viaggio imprevisto di un matematico attraverso il mondo fisico
Il profilo della carriera matematica di Lauren Williams era presente molto presto nella sua vita.
"Sin da quando ero bambino, ho sempre amato i modelli", ha detto Williams. "Mi è piaciuto ricevere una sequenza di numeri e dover trovare lo schema e prevedere il numero successivo."
Ma mentre molti bambini sono incantati dagli schemi, pochi finiscono per seguirli così lontano, o in luoghi così inaspettati, come ha fatto Williams. Come professore all'Università di Harvard – dove è diventata solo la seconda donna matematica di ruolo nella storia dell'università – ha scoperto corrispondenze molto più sconcertanti di qualsiasi cosa abbia imparato alle elementari.
Coinvolgono tutti un singolo oggetto matematico che può essere descritto in molti modi diversi. Ma guardandolo da una prospettiva completamente nuova, Williams, 42 anni, ha dimostrato che è la chiave per decodificare i segreti dietro una vasta gamma di fenomeni apparentemente non correlati in matematica e in natura.
"È sempre stata senza paura", ha detto Federico Ardila della San Francisco State University, che frequentava la scuola di specializzazione con Williams. "Non ha paura di costruire ponti dove non sembravano esistere."
L'oggetto geometrico che intreccia il lavoro di Williams è chiamato Grassmannian positivo. È una forma che svolge una sorta di funzione di registrazione dei dati: ogni punto su di essa rappresenta un'istanza specifica di un oggetto geometrico più semplice. È una forma che tiene traccia di altre forme.
Intorno al periodo in cui Williams ha iniziato la scuola di specializzazione al Massachusetts Institute of Technology nel 2001, i matematici stavano sviluppando un nuovo modo di pensare al grassmanniano positivo. Invece di pensarlo come un singolo oggetto geometrico, cercavano di capirlo in termini di pezzi che lo compongono.
Questa prospettiva ha affascinato la Williams e negli ultimi due decenni ha stabilito molte delle sue implicazioni di più vasta portata.
In modo spesso drammatico, Williams ha anche dimostrato che i pezzi del Grassmanniano positivo possono essere riassemblati in una forma che spiega tutto, dal movimento delle onde di tsunami alle collisioni di particelle alla frontiera della fisica quantistica. È un pot-pourri di intuizioni che sono coerenti attorno al Grassmanniano positivo e alla mente unica che li ha generati.
"Lauren è una di queste persone che pensa così chiaramente", ha detto Nima Arkani-Hamed , un fisico teorico presso l'Institute for Advanced Study. "È di mentalità aperta e avventurosa."
Punto di origine
Williams è cresciuta nei sobborghi di Los Angeles, la maggiore di quattro sorelle. Suo padre era un ingegnere e sua madre, una giapponese americana di terza generazione, insegnava inglese.
Da bambina Williams amava suonare il violino e scrivere poesie, ma amava soprattutto leggere. Di notte, rimaneva sveglia oltre l'ora di andare a letto con una lampada infilata sotto il piumone (alla fine si faceva un buco nelle lenzuola). Durante i giorni estivi, "passavo ore seduta sui rami di un albicocco nel nostro cortile, leggendo un libro e mangiando albicocche", ha detto.
La matematica è salita alla sua attenzione in quarta elementare quando ha partecipato a un concorso di matematica della scuola elementare. "Ho vinto inaspettatamente il concorso, e i due insegnanti che lo hanno organizzato mi hanno preso sotto la loro ala protettrice", ha detto.
Quando aveva 16 anni, trascorse un'estate in un programma di ricerca in matematica per studenti delle scuole superiori ospitato dal MIT. Quella fu la sua prima seria introduzione alla combinatoria, un'area della matematica che si occupa di rompere oggetti complicati in pezzi e poi classificarli e contarli. Ha imparato a conoscere la disciplina da uno studente laureato del MIT di nome Satomi Okazaki, che a sua volta era lo studente di un matematico di nome Richard Stanley. (Stanley alla fine sarebbe diventato il consigliere di dottorato di Williams.)
Quando è andata al college, ad Harvard, era entusiasta di entrare a far parte di un mondo intellettuale più ampio. "Non c'era fine alle lezioni e alle attività che volevo provare, e i miei coetanei erano entusiasti quanto me di imparare e fare tutto". Si è laureata in matematica ad Harvard, dove si è laureata nel 2000, e ha frequentato la scuola di specializzazione al MIT. Lì ha iniziato a studiare un oggetto matematico con molte forme: il grassmanniano.
“Se conosci bene il grassmanniano, puoi andare in molte direzioni diverse. È fondamentale in matematica ", ha detto Bernd Sturmfels dell'Università della California, Berkeley, che è anche il direttore del Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences di Lipsia, in Germania.
Il Grassmannian prende il nome da Hermann Grassmann, che lo formalizzò per primo a metà del 1800. Solo che non è un oggetto geometrico esatto, ma piuttosto una loro famiglia.
Per avere un'idea di un singolo Grassmanniano, iniziamo con solo due numeri, 1 e 3. Il 3 indica che siamo nello spazio tridimensionale. L'1 significa che penseremo a linee unidimensionali all'interno di quello spazio.
In questo spazio tridimensionale ci sono tre assi – x, yez – che si intersecano ad un bivio, l'origine. Ora immagina una linea che attraversa l'origine. Fai un ulteriore passo avanti e prova a immaginare tutte le linee che potrebbero attraversare l'origine, ognuna con la sua traiettoria unica.
Quindi, immagina di posizionare una sfera in modo che sia centrata attorno all'origine. La maggior parte di queste linee intersecheranno questa sfera due volte, negli emisferi settentrionale e meridionale (tranne quelle che passano attraverso l'equatore). Questo rende i due emisferi in gran parte ridondanti – portano le stesse informazioni sulle linee – quindi possiamo dimenticare quello meridionale. L'emisfero settentrionale rimasto è il Grassmanniano formato da linee unidimensionali nello spazio tridimensionale. Oppure, come scrivono i matematici, Gr (1,3).
Ciò significa che se conosci le coordinate di un punto nell'emisfero settentrionale, sai tutto sulla linea unidimensionale attraverso l'origine che passa per quel punto. Il grassmanniano è un esempio di ciò che i matematici chiamano spazio dei moduli, nel senso che è un singolo oggetto geometrico che serve come un modo conciso per tenere traccia di infinitamente molti altri.
"Mentre ti muovi ti stai spostando da un punto a un altro sul Grassmannian", ha detto Ardila. "È quasi come un telecomando."
Questo è solo un esempio di Grassmanniano. Se avessimo iniziato con i numeri 4 e 10, avremmo invece pensato ai piani quadridimensionali che passano attraverso l'origine nello spazio a 10 dimensioni – e il Grassmanniano, Gr (4,10), sarebbe il 10-dimensionale forma in cui ogni punto rappresenta uno di quei piani quadridimensionali. Puoi costruire infiniti Grassmanniani diversi iniziando con coppie distinte di numeri interi.
A partire dai primi anni '90, molti matematici hanno iniziato a concentrarsi su una parte particolare del Grassmanniano chiamato Grassmannian positivo. Nel nostro esempio, Gr (1,3), è un quarto dell'emisfero settentrionale. Viene definita la parte “positiva” del Grassmanniano perché, grosso modo, tutte le linee che lo attraversano hanno una pendenza non negativa.
Ma per capire veramente il suo posto nella matematica, i matematici dovevano prima imparare a smontare il grassmanniano.
Di molti, pochi
Negli anni '70 e '80, Gian-Carlo Rota e il suo allievo Richard Stanley hanno escogitato un nuovo modo di pensare alle forme matematiche sofisticate. Prendono quegli oggetti – che potrebbero essere difficili da studiare da soli – e li suddividono in pezzi combinatori più trattabili.
"Hai qualche oggetto molto complicato che è difficile da capire", ha detto Melissa Sherman-Bennett , una studentessa laureata a Berkeley che lavora con Williams. "Ma puoi romperlo in pezzi che ti danno una visione più approfondita di questa cosa grande e complicata."
Quando Williams è arrivata al MIT, ha letto i lavori fondamentali degli anni '90 di George Lusztig e del suo studente Konstanze Rietsch che avevano introdotto il grassmanniano positivo, e articoli più recenti di Alexander Postnikov che applicavano una prospettiva combinatoria alla forma. Postnikov era al MIT e Williams ha passato molto tempo a parlare con lui. Era affascinata dal modo in cui il suo lavoro collegava questa forma già canonica a parti ancora più diffuse della matematica.
"Ho trovato che sia una bellissima confluenza di idee", ha detto Williams.
Per capire come il grassmanniano si rompe in pezzi, ricorda che ogni punto su di esso codifica le proprietà di una linea o piano multidimensionale passante per l'origine. Questi piani sono definiti da vettori che possono essere scritti come array di numeri chiamati matrici. La dimensione di una matrice dipende dal Grassmanniano. Per Gr (1,3) – linee unidimensionali nello spazio tridimensionale – ogni linea attraverso l'origine è specificata da una matrice 1 × 3, come ad esempio:
I numeri nella matrice servono come coordinate per il punto nel Grassmanniano che codifica la linea. Lo stesso Grassmanniano contiene infiniti punti, che non possono essere contati in modo discreto e finito. Ma è possibile estrarre dati aggiuntivi dalle matrici che possono essere conteggiati.
Molte matrici hanno una misura chiamata determinante, che è un singolo valore calcolato utilizzando i numeri nella matrice. Hanno anche "sottodeterminanti", che vengono calcolati in base a un sottoinsieme dei valori nella matrice; una matrice 1 × 3 ha tre sottodeterminanti.
Per il lavoro di Williams, il significato di quei sottodeterminanti risiede nei loro segni, che possono essere positivi, negativi o nessuno dei due (se il sottodeterminante è zero). Con il grassmanniano positivo, le opzioni sono ancora più limitate: i sottodeterminanti possono assumere solo valori positivi o zero.
Questo trasforma qualcosa di infinito e non numerabile in qualcosa di discreto e possibile ordinare: mentre ci sono infinitamente molte matrici 1 × 3 diverse, i loro tre sottodeterminanti possono avere solo otto diversi modelli di segno: (000), (00+), (0 ++) , e così via. E per ragioni tecniche, i matematici non hanno bisogno di considerarne uno, (000), che lascia solo sette categorie in cui suddividere questi infiniti punti.
I punti vengono ordinati in diversi segmenti, o "celle", in base al loro modello di segno. Puoi pensare a queste sette celle come ai sette pezzi del puzzle che compongono il Grassmanniano positivo. Il numero e le forme di questi pezzi non sono evidenti quando si guarda per la prima volta alla forma complessiva. Diventano evidenti quando si ordinano i punti in base ai loro modelli di segno: tutti i punti con un dato motivo di segno riempiono la forma di una singola cella o pezzo di puzzle. Questo processo di ordinamento dei punti in base ai segni per rivelare le forme dei pezzi del puzzle funziona particolarmente bene per la parte positiva del Grassmanniano.
"Il calcolo combinatorio è estremamente ricco", ha detto Rietsch.
A partire dalla scuola di specializzazione, Williams ha dimostrato una serie di caratteristiche diverse dei punti di passaggio dall'ordinamento grassmanniano positivo alle cellule. Nel 2003 ha ideato una formula per contare il numero di cellule diverse trovate in Grassmanniani positivi di qualsiasi dimensione. Il risultato prefigurava molto del lavoro innovativo più avanti nella sua carriera.
"Penso che sia uno dei maestri nel catturare la natura combinatoria di oggetti che non sembrano combinatori", ha detto Ardila.
Dopo aver conseguito il dottorato al MIT nel 2005, questa prospettiva combinatoria sul grassmanniano positivo ha iniziato a portare Williams a collaborazioni improbabili.
Fare onde
Ci sono molti modi per tracciare una carriera in matematica. Uno è dedicarsi allo sviluppo di una nuova teoria o all'attacco a un importante problema aperto. Ma non è questo che motiva la Williams.
"Preferirei non lavorare su ciò su cui stanno lavorando tutti gli altri", ha detto. "Non mi piace sentirmi in competizione con altre persone per lo stesso obiettivo."
Anche i suoi collaboratori hanno notato questo tratto insolito. "Lauren è una delle persone più intelligenti con cui abbia mai lavorato, ma non ho mai sentito che avesse questa pretesa di competizione", ha detto Ardila. "Ha questa gentilezza su di lei."
La preferenza di Williams per i problemi meno trafficati ha trovato sbocco subito dopo la scuola di specializzazione, quando ha scritto una serie di articoli con la matematica Sylvie Corteel che ha esplorato un legame inaspettato tra la combinatoria della fisica Grassmanniana positiva e la fisica statistica. Oltre ai risultati matematici, Williams ha guadagnato qualcos'altro lavorando con Corteel, che ha avuto un bambino durante la loro prima collaborazione.
"Quando ero molto più giovane, mi preoccupavo se fosse possibile essere un accademico di successo e anche avere una famiglia", ha detto. "È stato utile per me che all'inizio della mia carriera ho avuto queste collaborazioni con donne leggermente più anziane che lo stavano facendo funzionare".
La ricerca della Williams ha preso un'altra svolta sorprendente nel 2009, subito dopo essere entrata a far parte della facoltà di Berkeley. Mentre cercava nuovi risultati sul Grassmannian positivo, notò che un fisico della Ohio State University aveva citato il suo lavoro nella sua ricerca sulle onde di acque poco profonde.
"Se qualcuno scrive un articolo con il grassmanniano positivo, lo guarda sempre", ha detto il fisico in questione, Yuji Kodama . "Naturalmente, non si aspettava onde di acque poco profonde."
Il lavoro di Kodama si è concentrato su un particolare tipo di onda chiamata solitone o onda solitaria. L'esempio più famoso del fenomeno è uno tsunami. Più spesso, però, le onde dei solitoni si verificano vicino alla riva. La matematica alla base di un singolo solitone che si propaga da solo è relativamente semplice, ma diventa più complicata quando i solitoni si incrociano. I fisici li modellano usando l'equazione Kadomtsev-Petviashvili, o KP: Fornisci alle equazioni la posizione di un'onda e le equazioni generano la sua altezza in qualsiasi momento futuro. Kodama stava cercando di comprendere diversi tipi di soluzioni alle equazioni KP, che rappresentano diversi tipi di interazioni tra onde.
"Se un solitone e un altro interagiscono … compaiono molti schemi e ci piace classificarli", ha detto Kodama.
Williams ha provato a leggere il lavoro di Kodama, ansiosa di vedere come il Grassmanniano potesse adattarsi, ma era troppo lontano dalla sua ricerca perché lei lo capisse. Così lo ha invitato a Berkeley per spiegarglielo di persona. Anche allora la comunicazione non era facile.
“È un fisico e un uomo giapponese più anziano e abbiamo avuto molti problemi a capirci quel primo giorno. Era come se stessimo parlando lingue diverse ", ha detto Williams.
Mentre parlavano, Kodama ha abbozzato semplici schemi per illustrare i modelli di interazione delle onde: due linee che rappresentano due onde convergono in un punto, quindi emerge una singola linea che rappresenta una nuova onda. I disegni sembravano familiari a Williams. Ha subito riconosciuto che rispecchiano rappresentazioni pittoriche chiamate grafici bicolori planari che i matematici usano per descrivere i punti sul Grassmanniano positivo.
"Spiegava cose e disegnava immagini e ho avuto molti problemi a seguire le sue spiegazioni, ma potevo disegnare la stessa immagine in un modo completamente diverso", ha detto Williams.
Il lavoro precedente aveva stabilito una relazione uno-a-uno tra i punti sul grassmanniano positivo e le soluzioni dell'equazione KP: inizia con un punto sul grassmanniano positivo, applica una matematica complicata e otterrai una soluzione alle equazioni che rappresenta una particolare interazione ondulatoria.
Incoraggiati dalle immagini corrispondenti, Kodama e Williams hanno cercato connessioni più profonde tra le onde di Grassmannian e quelle di acque poco profonde. La coppia ha finito per mostrare che quando si associa un punto sul Grassmanniano positivo con una soluzione all'equazione KP, la cella a cui appartiene quel punto determina molto sul modello d'onda rappresentato dalla soluzione delle equazioni.
"Il comportamento su larga scala di una formazione d'onda è interamente determinato da quale cella si trova il tuo punto nel Grassmannian positivo", ha detto Williams.
Uno dei loro articoli includeva anche un haiku che Kodama e Williams scrissero, in parte in riconoscimento della loro eredità giapponese condivisa:
Disposizione delle pietre
rivelano modelli tra le onde
man mano che lo spazio-tempo si espande
"Essere uno scrittore o un poeta era uno dei miei sogni d'infanzia, e ho pensato, ora ho un incarico di ruolo, posso essere un po 'pazzo", ha detto Williams.
È come se al grassmanniano, scoperto un secolo fa per formalizzare la matematica delle linee e dei piani attraverso l'origine, capita anche di indicizzare i fenomeni nel mondo fisico – una bizzarra corrispondenza che Williams non riesce ancora a spiegare del tutto.
"Il grassmanniano sembra essere collegato a un sacco di cose che descrivono la 'vita reale', e non ho una grande risposta sul perché, tranne per dire che il grassmanniano è un oggetto fondamentale in matematica", ha detto.
Onde alle particelle
Nel 2016 il dipartimento di matematica di Harvard ha contattato Williams e le ha chiesto se poteva essere interessata a unirsi a loro. L'ouverture ha scioccato Williams per due motivi: nessun altro della facoltà di Harvard ha fatto il suo genere di matematica, e nessun altro le somigliava.
"Non c'erano donne e non combinatori", ha detto. “Mi pesava molto quando stavo cercando di prendere una decisione. Non ero sicuro di come sarebbe stata l'atmosfera. " Ma Williams l'aveva amata per quattro anni ad Harvard come studentessa universitaria – e tre anni successivi come ricercatrice post-dottorato – e questo la rese più incline a considerare l'offerta dell'università.
Si è recata a Cambridge e ha cenato con i suoi potenziali colleghi. L'esperienza è stata rassicurante, ma a quel punto Williams era saldamente situata in California. Era preoccupata per lo sradicamento di suo marito e dei suoi figli piccoli, e ha anche riconosciuto che fare una mossa di così alto profilo nel mondo della matematica potrebbe aumentare il controllo pubblico su di lei e sul suo lavoro. Eppure, alla fine, si è sentita in dovere di assumere la posizione, come un modo per incoraggiare altre donne a intraprendere una carriera in matematica.
"Ho riconosciuto che venire ad Harvard mi avrebbe dato la possibilità di avere un impatto positivo su un dipartimento a cui tenevo molto", ha detto Williams. “Capisco che i modelli di ruolo contano. Può essere difficile per le persone immaginare una carriera per se stesse quando non vedono persone come loro con quella carriera ".
Williams ha iniziato ad Harvard nell'autunno del 2018 ed è diventata la seconda donna in assoluto a ricoprire una posizione di ruolo nel dipartimento di matematica dell'università. (La prima, Sophie Morel , ha trascorso tre anni ad Harvard prima di partire nel 2012; questo autunno, Harvard ha assunto altre due matematiche di ruolo: Laura DeMarco e Melanie Matchett Wood .)
“Ci sono così tanti ostacoli nascosti per le docenti di matematica delle migliori istituzioni di ricerca. In un certo senso devi essere un guerriero, ma Lauren ha gestito le cose con tanta grazia ", ha detto Ardila.
Allo stesso tempo, la Williams si stava spostando attraverso il paese, era immersa in un nuovo progetto grassmanniano. Comprendeva un oggetto geometrico chiamato amplituedro che era stato proposto come risposta a uno dei problemi più intricati della fisica .
L'amplituhedron è stato formalmente descritto in un documento del 2013 da Nima Arkani-Hamed e Jaroslav Trnka . Doveva aiutare i fisici a prevedere cosa succede quando le particelle fondamentali si scontrano. A causa della natura delle interazioni quantistiche, tali collisioni non sono strettamente deterministiche. Invece, sono descritti da un'ampiezza, che è come una probabilità che la collisione si svolga in un determinato modo.
Il metodo un po 'goffo prevalente per il calcolo delle ampiezze è qualcosa chiamato diagramma di Feynman , dal nome del suo inventore, Richard Feynman. Questi diagrammi implicano calcoli vasti e noiosi che sono difficili da eseguire con precisione poiché le collisioni di particelle diventano più complesse.
L'amplituedro è un modo più semplice per calcolare le ampiezze. Dato un insieme di particelle in rotta di collisione, è possibile utilizzare le loro proprietà per costruire un oggetto geometrico: l'amplituedro. Incarna l'interazione delle particelle in un modo preciso: calcolando il suo volume, in effetti stai calcolando l'ampiezza per la collisione data.
"Costruiamo una forma e il volume della forma mi dà un'ampiezza", ha detto Arkani-Hamed.
Quindi la domanda è come calcolare il volume. Un approccio è quello di rompere l'amplituedro in pezzi. Questo processo, chiamato triangolazione, è facile da vedere con un esempio. Immagina di avere una palla e di voler trovare il suo volume. Un modo indiretto per farlo è riempirlo con tessere triangolari tridimensionali. Il volume totale è la somma dei singoli volumi di tutte le tessere utilizzate nella triangolazione.
“In prima approssimazione, sono interessato al volume dell'amplituedro, e un modo per calcolare il volume è suddividerlo in pezzi più piccoli. Ecco perché vogliono triangolare l'amplituedro ", ha detto Williams.
Arkani-Hamed ei suoi collaboratori avevano definito l'amplituedro in relazione al grassmanniano positivo. Hanno dimostrato che è possibile trasformare un grassmanniano positivo in un amplituedro moltiplicandolo per un tipo di matrice, fornendo effettivamente una ricetta matematica per spostare i punti sul grassmanniano positivo su punti sull'amplituedro. Di conseguenza, le informazioni sui trasferimenti di Grassmannian positivi relativamente ben studiati all'amplituedro relativamente inesplorato.
Negli ultimi tre anni, Williams ha ampliato questa corrispondenza. Ha dimostrato che in alcuni casi le proprietà combinatorie del Grassmanniano positivo – il modo in cui i suoi punti si ordinano nelle cellule – si trasferiscono all'amplituedro attraverso questo processo di trasformazione. Ciò significa che le cellule del Grassmannian positivo possono fungere da tessere necessarie per triangolare l'amplituedro.
Finora, Williams ha dimostrato che questa relazione vale per le versioni più semplici dell'amplituedro. Ha anche elaborato una congettura precisa che prevede quante tessere sono necessarie per triangolare qualsiasi amplituedro.
"Stavamo brancolando nell'oscurità per un bel po ', ma in positivo il Grassmannian è stato una luce splendente durante tutto questo processo", ha detto Arkani-Hamed.
Nell'autunno del 2019 Williams e Arkani-Hamed erano due dei co-organizzatori di un programma di un semestre ad Harvard che ha riunito matematici e fisici per esplorare il legame tra il Grassmanniano positivo e l'ampilituedro. Durante l'evento, Williams stava parlando con due fisici che hanno menzionato una sequenza di numeri relativa alle triangolazioni dell'amplituedro.
I numeri furono immediatamente familiari a Williams: li aveva incontrati come studentessa laureata che lavorava su un problema diverso (e non correlato) su una versione del Grassmanniano positivo 16 anni prima. Ma non capiva perché si sarebbero presentati in questa nuova ambientazione.
"Ogni volta che ho avuto un momento libero, mi ritrovavo a vagare di nuovo e chiedermi come creare quel collegamento", ha detto.
Alla fine lo fece – seguendo uno schema più sorprendente, con echi delle sequenze numeriche che l'avevano affascinata da bambina.
"Dopo alcuni mesi abbiamo capito esattamente cosa fosse", ha detto Williams. "Era solo questa deliziosa sorpresa."
Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/a-mathematicians-adventure-through-the-physical-world-20201216/ in data Wed, 16 Dec 2020 17:37:12 +0000.