I matematici trovano una nuova classe di numeri primi digitalmente delicati
Nonostante non abbiano trovato esempi specifici, i ricercatori hanno dimostrato l’esistenza di un tipo pervasivo di numero primo così delicato che la modifica di una qualsiasi delle sue cifre infinite lo rende composto.
Il post Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Prime è apparso per la prima volta su Quanta Magazine .
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Dai un'occhiata ai numeri 294.001, 505.447 e 584.141. Hai notato qualcosa di speciale in loro? Potresti riconoscere che sono tutti primi – divisibili uniformemente solo per se stessi e 1 – ma questi particolari numeri primi sono ancora più insoliti.
Se scegli una singola cifra in uno di questi numeri e la modifichi, il nuovo numero è composto e quindi non è più primo. Ad esempio, cambia 1 in 294.001 in 7 e il numero risultante è divisibile per 7; cambiarlo in 9 ed è divisibile per 3.
Tali numeri sono chiamati "numeri primi digitalmente delicati" e sono un'invenzione matematica relativamente recente. Nel 1978, il matematico e prolifico autore di problemi Murray Klamkin si chiedeva se esistessero numeri come questo. La sua domanda ha ottenuto una rapida risposta da uno dei più prolifici risolutori di problemi di tutti i tempi, Paul Erdős. Ha dimostrato non solo che esistono, ma anche che ce ne sono un numero infinito, un risultato che vale non solo per la base 10, ma per qualsiasi sistema numerico. Altri matematici da allora hanno esteso il risultato di Erdős, incluso il vincitore della medaglia Fields Terence Tao, che ha dimostrato in un documento del 2011 che una "proporzione positiva" di numeri primi è digitalmente delicata (di nuovo, per tutte le basi). Ciò significa che la distanza media tra numeri primi digitalmente delicati consecutivi rimane abbastanza stabile man mano che i numeri primi stessi diventano molto grandi – in altre parole, i numeri primi digitalmente delicati non diventeranno sempre più scarsi tra i numeri primi.
Ora, con due articoli recenti, Michael Filaseta della University of South Carolina ha portato avanti l'idea, presentando una classe ancora più rarefatta di numeri primi digitalmente delicati.
"È un risultato straordinario", ha affermato Paul Pollack dell'Università della Georgia.
Motivato dal lavoro di Erdős e Tao, Filaseta si chiedeva cosa sarebbe successo se avessi incluso una stringa infinita di zeri iniziali come parte del numero primo. I numeri 53 e… 0000000053 hanno lo stesso valore, dopotutto; Cambiare uno qualsiasi di quegli zeri infiniti attaccati a un numero primo digitalmente delicato lo renderebbe automaticamente composto?
Filaseta ha deciso di chiamare tali numeri, supponendo che esistessero, "ampiamente delicati dal punto di vista digitale", e ha studiato le loro proprietà in un documento del novembre 2020 con il suo ex studente laureato Jeremiah Southwick.
Non sorprende che la condizione aggiunta renda tali numeri più difficili da trovare. "294.001 è digitalmente delicato, ma non molto digitalmente delicato", ha detto Pollack, "poiché se cambiamo … 000.294.001 in … 010.294.001, otteniamo 10.294.001" – un altro numero primo.
In effetti, Filaseta e Southwick non sono riusciti a trovare un esempio in base 10 di un numero primo estremamente delicato dal punto di vista digitale, nonostante esaminassero tutti i numeri interi fino a 1.000.000.000. Ma ciò non ha impedito loro di provare alcune affermazioni forti su questi numeri ipotetici.
In primo luogo, hanno dimostrato che tali numeri sono effettivamente possibili in base 10 e, per di più, ne esistono un numero infinito. Facendo un ulteriore passo avanti, hanno anche dimostrato che una percentuale positiva di numeri primi è ampiamente delicata dal punto di vista digitale, proprio come Tao aveva fatto per i numeri primi delicati dal punto di vista digitale. (Nella sua tesi di dottorato, Southwick ha ottenuto gli stessi risultati nelle basi da 2 a 9, 11 e 31).
Pollack è rimasto impressionato dai risultati. "Ci sono infinitamente molte cose possibili che ti è permesso fare con questi numeri e, qualunque cosa tu faccia, ti viene comunque garantita una risposta composita", ha detto.
La prova si basava su due strumenti. Il primo, chiamato sistemi di copertura o congruenze di copertura, è stato inventato da Erdős nel 1950 per risolvere un problema diverso nella teoria dei numeri. "Quello che un sistema di copertura fa per te", ha detto Southwick, "è darti un gran numero di bucket, insieme alla garanzia che ogni numero intero positivo sia in almeno uno di quei bucket". Se, ad esempio, dividi tutti i numeri interi positivi per 2, ti ritroverai con due bucket: uno contenente numeri pari in cui il resto è 0 e uno contenente numeri dispari in cui il resto è 1. In questo modo, tutti positivi gli interi sono stati "coperti" e i numeri che occupano lo stesso bucket sono considerati "congruenti" tra loro.
La situazione che coinvolge numeri primi estremamente delicati dal punto di vista digitale è ovviamente più complicata. Avrai bisogno di molti più bucket, qualcosa nell'ordine di 10 25.000 , e in uno di questi bucket ogni numero primo è garantito per diventare composto se una qualsiasi delle sue cifre, inclusi gli zeri iniziali, viene aumentata.
Ma per essere ampiamente delicato dal punto di vista digitale, un numero primo deve anche diventare composto se una qualsiasi delle sue cifre viene diminuita. È qui che entra in gioco il secondo strumento, chiamato setaccio. I metodi del setaccio, che risalgono agli antichi greci, offrono un modo per contare, stimare o impostare limiti al numero di numeri interi che soddisfano determinate proprietà. Filaseta e Southwick hanno utilizzato un argomento del setaccio, simile all'approccio adottato da Tao nel 2011, per dimostrare che se si prendono i numeri primi nel suddetto bucket e si diminuisce una delle cifre, una proporzione positiva di quei numeri primi diventerà composta. In altre parole, una percentuale positiva di questi numeri primi è ampiamente delicata dal punto di vista digitale.
"Il teorema di Filaseta-Southwick", ha detto Pollack, "è una bella e inaspettata illustrazione del potere di coprire le congruenze".
Poi, in un articolo di gennaio , Filaseta e il suo attuale studente laureato Jacob Juillerat hanno fatto un'affermazione ancora più sorprendente: esistono sequenze arbitrariamente lunghe di numeri primi consecutivi, ognuna delle quali è ampiamente delicata dal punto di vista digitale. Sarebbe possibile, ad esempio, trovare 10 numeri primi consecutivi ampiamente delicati dal punto di vista digitale. Ma per fare ciò, dovresti esaminare un numero enorme di numeri primi, ha detto Filaseta, "probabilmente più del numero di atomi nell'universo osservabile". Lo ha paragonato alla vittoria alla lotteria 10 volte di seguito: le probabilità di farlo sono straordinariamente ridotte, ma ancora diverse da zero.
Filaseta e Juillerat hanno dimostrato il loro teorema in due fasi. In primo luogo, hanno utilizzato argomenti di sistema coprenti per dimostrare che esiste un secchio contenente infiniti numeri primi, tutti estremamente delicati dal punto di vista digitale. Nella seconda fase, hanno applicato un teorema, dimostrato nel 2000 da Daniel Shiu, per dimostrare che da qualche parte nell'elenco di tutti i numeri primi esiste un numero arbitrario di numeri primi consecutivi contenuti in questo secchio. Quei numeri primi consecutivi, in virtù dell'essere in quel secchio, sono necessariamente estremamente delicati dal punto di vista digitale.
Carl Pomerance del Dartmouth College ha apprezzato molto questi documenti, definendo Filaseta “un maestro nell'applicazione delle congruenze di copertura a molti interessanti problemi di teoria dei numeri. La matematica può essere un esercizio per portare strumenti potenti e può anche essere puro divertimento ".
Allo stesso tempo, ha osservato Pomerance, rappresentare un numero in base alle sue cifre in base 10 potrebbe essere conveniente, "ma non va all'essenza di ciò che quel numero è realmente". Ci sono modi più fondamentali per rappresentare i numeri, sosteneva, come il modo in cui sono definiti i primi di Mersenne – numeri primi della forma 2 p – 1 per un primo p .
Filaseta è d'accordo. Tuttavia, i documenti recenti sollevano questioni che potrebbe valere la pena esplorare. Filaseta è curiosa di sapere se in ogni base esistono numeri primi estremamente delicati dal punto di vista digitale. Juillerat, da parte sua, si chiede se "ci sono infiniti numeri primi che diventano composti quando si inserisce una cifra tra due cifre, invece di sostituire semplicemente una cifra".
Un'altra domanda allettante viene da Pomerance: tutti i numeri primi alla fine diventano digitalmente delicati o ampiamente digitalmente delicati man mano che ti avvicini all'infinito? Allo stesso modo, esiste un numero limitato di numeri primi che non sono digitalmente delicati (o ampiamente digitalmente delicati)? Sente che la risposta a quella domanda, comunque sia formulata, debba essere no. Ma lui e Filaseta la considerano una congettura intrigante, che nessuno dei due sa provare senza fare affidamento su un'altra congettura non dimostrata.
"La storia della ricerca matematica è che non sai in anticipo se puoi risolvere un problema impegnativo o se porterà a qualcosa di importante", ha detto Pomerance. “Non puoi decidere in anticipo: oggi farò qualcosa di prezioso. Anche se è fantastico, ovviamente, quando le cose vanno in questo modo. "
Il post Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Prime è apparso per la prima volta su Quanta Magazine .
Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-a-new-class-of-digitally-delicate-primes-20210330/ in data Tue, 30 Mar 2021 14:15:40 +0000.