I matematici non smetteranno mai di fornire il teorema dei numeri primi
"Non devi credere in Dio, ma devi credere nel Libro ", ha detto una volta il matematico ungherese Paul Erdős . Il libro , che esiste solo in teoria, contiene le prove più eleganti dei teoremi più importanti. Il mandato di Erdős suggerisce le motivazioni dei matematici che continuano a cercare nuove prove di teoremi già provati. Uno dei preferiti è il teorema dei numeri primi: un'affermazione che descrive la distribuzione dei numeri primi, quelli i cui unici divisori sono 1 e se stessi. Mentre i matematici non sanno mai se una prova meriterebbe l'inclusione nel Libro , due contendenti forti sono le prime prove indipendenti del teorema dei numeri primi nel 1896 di Jacques Hadamard e Charles-Jean de la Vallée Poussin.
Quindi cosa dice questo teorema?
Il teorema dei numeri primi fornisce un modo per approssimare il numero di numeri primi minore o uguale a un dato numero n . Questo valore è chiamato π ( n ), dove π è la "funzione di conteggio primo". Ad esempio, π (10) = 4 poiché ci sono quattro numeri primi inferiori o uguali a 10 (2, 3, 5 e 7). Allo stesso modo, π (100) = 25, poiché 25 dei primi 100 numeri interi sono primi. Tra i primi 1.000 numeri interi, ci sono 168 numeri primi, quindi π (1.000) = 168 e così via. Si noti che, considerando i primi 10, 100 e 1.000 numeri interi, la percentuale di numeri primi è passata dal 40% al 25% al 16,8%. Questi esempi suggeriscono, e il teorema dei numeri primi conferma, che la densità dei numeri primi pari o inferiore a un dato numero diminuisce quando il numero aumenta.
Ma anche se avessi un elenco ordinato di numeri interi positivi fino a, diciamo, 1 trilione, chi vorrebbe determinare π (1.000.000.000.000) mediante un conteggio manuale? Il teorema dei numeri primi offre una scorciatoia.
Il teorema ci dice che π ( n ) è "asintoticamente uguale" a $ latex frac {n} { ln (n)} $, dove ln è il logaritmo naturale. (Puoi pensare a un'uguaglianza asintotica come un'uguaglianza approssimativa, anche se tecnicamente è più di questo.) Ad esempio, stimiamo il numero di numeri primi fino a 1 trilione. Invece di contare i singoli numeri primi per determinare π (1.000.000.000.000), puoi usare questo teorema per scoprire che ne esistono circa $ latex frac {1,000,000,000,000} { ln (1,000,000,000,000)} $, che equivale. 36.191.206.825 quando arrotondato a un numero intero. Questo importo è solo del 4% circa dalla risposta effettiva, 37.607.912.018.
Con l'uguaglianza asintotica, la precisione migliora quando si inseriscono numeri più grandi nella formula. Fondamentalmente, mentre ti dirigi verso l'infinito – che non è esso stesso un numero, ma qualcosa di più grande di qualsiasi numero – l'uguaglianza approssimativa nel teorema si avvicina a un'eguaglianza reale. Ciò nonostante il fatto che il numero effettivo di numeri primi sarà sempre uguale a un numero intero, mentre dall'altro lato dell'uguaglianza asintotica, la frazione che coinvolge la funzione logaritmica naturale potrebbe eguagliare qualsiasi valore sulla riga del numero reale. Questa connessione tra numeri interi e numeri reali è tutt'altro che intuitiva.
Sono cose strabilianti, anche tra i matematici. In modo esasperante, l'affermazione del teorema dei numeri primi non suggerisce il motivo per cui tutto ciò sia vero.
“Il teorema non riguardava mai il teorema. Si trattava sempre della prova ”, ha affermato Michael Bode , professore di matematica presso la Queensland University of Technology in Australia.
Per quanto eleganti fossero, le prove originali di Hadamard e de la Vallée Poussin si basavano su analisi complesse – lo studio di funzioni con numeri immaginari – che alcuni trovavano insoddisfacenti in quanto l'affermazione di questo teorema non comporta di per sé numeri complessi. Tuttavia, GH Hardy, nel 1921, soprannominò la prospettiva di una dimostrazione non analitica – nota come prova elementare – del teorema dei numeri primi " straordinariamente improbabile " e affermò che se qualcuno dovesse trovarne uno, richiederebbe che "la teoria venga riscritta. ”
Atle Selberg ed Erdős stesso accettarono la sfida e nel 1948 pubblicarono ciascuno nuove prove elementari indipendenti del teorema dei numeri primi usando le proprietà dei logaritmi. Queste prove hanno indotto altri matematici a considerare metodi simili per congetture di teoria dei numeri precedentemente considerate troppo profonde per metodi apparentemente semplici. Seguirono molti risultati entusiasmanti, tra cui la prova elementare del 1985 di Helmut Maier che mostrava irregolarità inattese nella distribuzione dei numeri primi.
"Tante domande aperte si basano sul teorema dei numeri primi", ha dichiarato Florian Richter , un matematico della Northwestern University che ha recentemente pubblicato una nuova prova elementare di questa celebre affermazione. Richter ha trovato la sua prova mentre cercava di dimostrare un'estensione di vasta portata del teorema dei numeri primi.
Nel corso del tempo, i teorici dei numeri hanno contribuito a stabilire una cultura in cui i matematici hanno lavorato per dimostrare e riprovare i teoremi non solo per verificare le affermazioni, ma anche per migliorare le loro abilità nel dimostrare i teoremi e la loro comprensione della matematica coinvolta.
Questo va oltre il teorema dei numeri primi. Paulo Ribenboim ha catalogato almeno 7 prove dell'infinità di numeri primi. Steven Kifowit e Terra Stamps hanno identificato 20 prove dimostrando che la serie armonica, 1+ $ latex frac {1} {2} $ + $ latex frac {1} {3} $ + $ latex frac {1} {4} $ + $ latex frac {1} {5} $ + $ latex frac {1} {6} $ + $ latex frac {1} {7} $ +…, non equivale a un numero finito, e Kifowit in seguito seguito con altri 28 . Bruce Ratner cita più di 371 diverse prove del teorema di Pitagora, tra cui alcune gemme fornite da Euclide, Leonardo da Vinci e dal presidente americano James Garfield, che all'epoca era membro del Congresso dell'Ohio.
Questa abitudine di provare di nuovo le cose è ormai così radicata che i matematici possono letteralmente contare su di essa. Tom Edgar e Yajun An hanno osservato che ci sono state 246 prove di un'affermazione nota come legge di reciprocità quadratica a seguito della prova originale di Gauss nel 1796. Tracciando il numero di prove nel tempo, hanno estrapolato che potremmo aspettarci la 300esima prova di questo teorema intorno l'anno 2050.
"Adoro le nuove prove di vecchi teoremi per lo stesso motivo per cui amo le nuove strade e le scorciatoie per i luoghi in cui sono già stato", ha detto Sophia Restad , una studentessa laureata presso la Kansas State University. Questi nuovi percorsi forniscono ai matematici un senso figurato del luogo per l'attività intellettuale.
I matematici non possono mai smettere di cercare percorsi nuovi e più illuminanti verso il teorema dei numeri primi e altri
amati teoremi. Con un po 'di fortuna, alcuni di loro meriteranno persino
inclusione in The Book .
Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/mathematicians-will-never-stop-proving-the-prime-number-theorem-20200722/ in data Wed, 22 Jul 2020 14:20:19 +0000.