La prospettiva “inutile” che ha trasformato la matematica
Quando la teoria della rappresentazione è emersa alla fine del XIX secolo, molti matematici hanno messo in dubbio il suo valore. Nel 1897, il matematico inglese William Burnside scrisse che dubitava che questa prospettiva non ortodossa avrebbe prodotto alcun nuovo risultato.
"Fondamentalmente ciò che dice è che la teoria della rappresentazione è inutile", ha detto Geordie Williamson dell'Università di Sydney in una conferenza del 2015 .
A più di un secolo dal suo debutto, la teoria della rappresentazione è servita come ingrediente chiave in molte delle scoperte più importanti in matematica. Eppure la sua utilità è ancora difficile da percepire all'inizio.
"Non sembra immediatamente chiaro che questa è una cosa ragionevole da studiare", ha affermato Emily Norton della Technical University of Kaiserslautern in Germania.
La teoria della rappresentazione è un modo per prendere oggetti complicati e "rappresentarli" con oggetti più semplici. Gli oggetti complicati sono spesso raccolte di oggetti matematici – come numeri o simmetrie – che si trovano in una relazione strutturata particolare tra loro. Queste raccolte sono chiamate gruppi. Gli oggetti più semplici sono matrici di numeri chiamati matrici, l'elemento centrale dell'algebra lineare. Mentre i gruppi sono astratti e spesso difficili da gestire, le matrici e l'algebra lineare sono elementari.
“I matematici in pratica sanno tutto quello che c'è da sapere sulle matrici. È una delle poche materie matematiche che è stata ben compresa ", ha affermato Jared Weinstein dell'Università di Boston.
Per vedere come i gruppi possono essere rappresentati da matrici, vale la pena pensare a ciascun oggetto a sua volta.
Innanzitutto, abbiamo gruppi. Per fare un semplice esempio, considera le sei simmetrie di un triangolo equilatero:
- Due simmetrie di rotazione (di 120 e 240 gradi)
- Tre simmetrie di riflessione (attraverso le linee tracciate da ciascun vertice attraverso il punto medio del lato opposto)
- Una simmetria identitaria, in cui non fai assolutamente nulla al triangolo
Queste sei simmetrie formano un universo chiuso di elementi – un gruppo – il cui nome formale è S 3 . Formano un gruppo perché puoi applicare qualsiasi numero di essi al triangolo in una riga, in qualsiasi ordine, e il risultato finale sarà lo stesso se avessi applicato solo una simmetria. Ad esempio, riflettere il triangolo e ruotarlo di 120 gradi riordina i vertici nello stesso modo in cui si farebbe semplicemente una diversa riflessione.
“Faccio qualcosa e poi qualcos'altro. L'importante è che il risultato sia ancora una simmetria del triangolo ", ha detto Norton.
I matematici si riferiscono alla combinazione di due simmetrie come una composizione: un'azione del gruppo (una riflessione) composta con un'altra (una rotazione) produce un terzo (una riflessione diversa). Puoi considerare la composizione un atto di moltiplicazione, come fanno i matematici.
“Ci piace pensare alle nostre operazioni come a moltiplicazioni anche se non sto moltiplicando i numeri; Sto moltiplicando le trasformazioni ", ha detto Norton.
Questo è più facile da vedere se si considerano i numeri reali, che formano anche un gruppo. I numeri reali hanno un elemento identificativo – il numero 1. Qualsiasi numero reale composto con o moltiplicato per 1 rimane invariato. Puoi anche moltiplicare qualsiasi combinazione di numeri reali, nell'ordine che desideri, e il prodotto è sempre anche un numero reale. I matematici affermano che il gruppo di numeri reali è "chiuso" sotto moltiplicazione, il che significa che non si abbandona mai il gruppo solo moltiplicando gli elementi.
Dalla loro scoperta nel 1830, i gruppi sono diventati uno degli oggetti più importanti in matematica. Codificano informazioni su numeri primi, spazi geometrici e quasi tutte le cose a cui i matematici tengono di più. La risoluzione di un problema importante spesso implica la comprensione del particolare gruppo a cui è correlato. Ma la maggior parte dei gruppi è molto più difficile da comprendere rispetto al gruppo di simmetria di un triangolo equilatero. Invece di sei elementi, i "gruppi di menzogne", ad esempio, ne contengono infiniti.
"A volte i gruppi diventano dannatamente complicati", ha detto Weinstein.
Questo ci porta alla teoria della rappresentazione, che converte il mondo a volte misterioso di gruppi nel territorio ben tramutato dell'algebra lineare.
L'algebra lineare è lo studio di semplici trasformazioni eseguite su oggetti chiamati vettori, che sono segmenti di linea effettivamente diretti. Questi oggetti sono definiti da coordinate, che possono essere visualizzate sotto forma di matrice, matrice di numeri.
Le trasformazioni si verificano quando un'altra matrice viene applicata al vettore. Ad esempio, applicando la matrice
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a un dato vettore lo allunga di un fattore due. Questo è un esempio di trasformazione "lineare".
Altre matrici eseguono diversi tipi di trasformazioni lineari, come riflessi, rotazioni e cesoie. Esiste anche una matrice di "identità" che lascia invariato un vettore (proprio come la simmetria dell'identità lascia invariato il triangolo e il numero 1 lascia invariati altri numeri reali):
$ latex left $
L'algebra lineare specifica l'aritmetica dietro quelle trasformazioni. Le matrici possono essere moltiplicate, aggiunte e sottratte con la stessa facilità con cui eseguiamo tali operazioni su numeri regolari.
La teoria della rappresentazione crea un ponte tra la teoria dei gruppi e l'algebra lineare assegnando una matrice a ciascun elemento di un gruppo, secondo determinate regole. Ad esempio, all'elemento identità nel gruppo deve essere assegnata la matrice identità. Le assegnazioni devono inoltre rispettare le relazioni tra gli elementi nel gruppo. Se una riflessione moltiplicata per una data rotazione equivale a una seconda riflessione, la matrice assegnata alla prima riflessione moltiplicata per la matrice assegnata alla rotazione deve essere uguale alla matrice assegnata alla seconda riflessione. Una raccolta di matrici che rispettano questi requisiti è chiamata rappresentazione di un gruppo.
Una rappresentazione fornisce un'immagine semplificata di un gruppo, proprio come una foto in scala di grigi può fungere da imitazione a basso costo dell'immagine a colori originale. Detto in altro modo, "ricorda" alcune informazioni di base ma essenziali sul gruppo dimenticando il resto. I matematici mirano a evitare di lottare con la piena complessità di un gruppo; invece acquisiscono un senso delle sue proprietà osservando come si comporta quando vengono convertite nel formato ridotto delle trasformazioni lineari.
"Non dobbiamo guardare il gruppo in una volta", ha detto Norton. "Possiamo guardare una rappresentazione più piccola e capire ancora qualcosa sul nostro gruppo".
Un gruppo può quasi sempre essere rappresentato in più modi. S 3 , ad esempio, ha tre rappresentazioni distinte quando vengono utilizzati numeri reali per riempire le matrici: la rappresentazione banale, la rappresentazione di riflessione e la rappresentazione del segno.
I matematici raccolgono le rappresentazioni di un determinato gruppo in una tabella – chiamata tabella dei caratteri – che riassume le informazioni sul gruppo. Le righe si riferiscono a ciascuna delle diverse rappresentazioni e le colonne fanno riferimento a matrici importanti all'interno di quella rappresentazione: la matrice assegnata all'elemento identità nel gruppo e le matrici assegnate agli elementi "generatori" nel gruppo che, insieme, danno salire a tutti gli altri elementi. Le voci della tabella sono un valore chiamato "traccia" di ciascuna matrice, calcolato sommando le voci diagonali dalla parte superiore sinistra della matrice alla parte inferiore destra. Di seguito è riportata la tabella dei caratteri per le tre rappresentazioni di S 3 .
La tabella dei caratteri fornisce un'immagine semplificata del gruppo. Ogni rappresentazione al suo interno fornisce informazioni leggermente diverse. I matematici combinano le varie prospettive fornite dalle rappresentazioni in un'impressione generale del gruppo.
"Hai molte rappresentazioni diverse, che ricordano cose diverse, e quando metti insieme tutte quelle informazioni hai in qualche modo questa immagine caleidoscopica del tuo gruppo", ha detto Norton.
La tabella dei personaggi sopra è immediatamente riconoscibile dai matematici come quella per S 3 . Ma a volte la stessa tabella dei caratteri può rappresentare più gruppi – un grado di ambiguità che è inevitabile quando si ha a che fare con le semplificazioni.
In quei casi ambigui, i matematici hanno a disposizione strumenti aggiuntivi. Uno è quello di cambiare il sistema numerico in cui creano la rappresentazione. La rappresentazione di S 3 sopra coinvolge matrici con voci di numeri reali, ma è anche possibile utilizzare voci di numeri complessi (in cui ogni numero ha una parte reale e una parte immaginaria). In effetti, la maggior parte della teoria della rappresentazione lo fa.
Alcune delle rappresentazioni più fruttuose non riguardano né numeri reali né numeri complessi. Invece, usano matrici con voci prese da sistemi numerici in miniatura o "modulari". Questo è il mondo dell'aritmetica dell'orologio , in cui 7 + 6 avvolge l'orologio a 12 ore per uguagliare 1. Due gruppi che hanno la stessa tabella di caratteri con rappresentazioni di numeri reali potrebbero avere diverse tabelle di caratteri con rappresentazioni modulari, che consentono di dire a parte.
Oggi, la teoria della rappresentazione è uno strumento centrale in molti campi matematici: algebra, topologia, geometria, fisica matematica e teoria dei numeri – incluso il vasto programma delle Langlands .
"Questa filosofia della teoria della rappresentazione ha continuato a inghiottire vasti tratti della matematica nella seconda metà del 20 ° secolo", mi ha detto Williamson in un'intervista.
La teoria della rappresentazione – e le rappresentazioni modulari in particolare – hanno svolto un ruolo importante nella dimostrazione storica di Andrew Wiles del 1994 sull'ultimo teorema di Fermat. Il problema era se esistessero soluzioni di numeri interi per equazioni della forma a n + b n = c n . Wiles ha dimostrato che tali soluzioni non esistono quando n è maggiore di 2. In modo approssimativo, ha sostenuto che le soluzioni, se esistessero, porterebbero a un gruppo (o "curva ellittica") con proprietà molto insolite. Queste proprietà erano così insolite che sembrava possibile dimostrare che questo oggetto non poteva esistere. Tuttavia, dimostrare direttamente la sua inesistenza era troppo difficile. Invece, Wiles ha lavorato con una famiglia di rappresentazioni modulari che sarebbero state associate al gruppo se esistesse. Ha dimostrato che questa famiglia di rappresentazioni modulari non può esistere, il che significa che il gruppo (o la curva ellittica) non può esistere, il che significa che neanche le soluzioni esistono.
Il che a sua volta significa che circa 100 anni dopo che William Burnside ha respinto la teoria della rappresentazione come inutile, è stata una componente critica nella discutibile prova più celebre del 20 ° secolo.
"Non potevo concepire una prova dell'ultimo teorema di Fermat che non coinvolge la teoria della rappresentazione da qualche parte", ha detto Weinstein.
Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/the-useless-perspective-that-transformed-mathematics-20200609/ in data Tue, 09 Jun 2020 15:30:36 +0000.