I matematici resuscitano il tredicesimo problema di Hilbert

Il successo è raro in matematica. Basta chiedere a Benson Farb .

“La parte difficile della matematica è che stai fallendo il 90% delle volte e devi essere il tipo di persona che può fallire il 90% delle volte”, ha detto una volta Farb a una cena. Quando un altro ospite, anche lui matematico, ha espresso stupore di esserci riuscito il 10% delle volte, ha subito ammesso: “No, no, no, stavo esagerando la mia percentuale di successo. Alla grande. “

Farb, un topologo dell’Università di Chicago, non potrebbe essere più felice del suo ultimo fallimento, anche se, ad essere onesti, non è solo suo. Ruota attorno a un problema che, curiosamente, è sia risolto che irrisolto, chiuso e aperto.

Il problema era il 13 ° dei 23 problemi di matematica allora irrisolti che il matematico tedesco David Hilbert, all’inizio del XX secolo, aveva previsto avrebbero plasmato il futuro del campo. Il problema pone una domanda sulla risoluzione di equazioni polinomiali di settimo grado. Il termine “polinomio” indica una stringa di termini matematici – ciascuno composto da coefficienti numerici e variabili elevate a potenze – connessi mediante addizione e sottrazione. “Settimo grado” significa che il massimo esponente nella stringa è 7.

I matematici hanno già ricette intelligenti ed efficienti per risolvere equazioni di secondo, terzo e fino a un certo punto di quarto grado. Queste formule – come la familiare formula quadratica per il grado 2 – implicano operazioni algebriche, ovvero solo aritmetiche e radicali (radici quadrate, per esempio). Ma più alto è l’esponente, più spinosa diventa l’equazione e risolverla si avvicina all’impossibilità. Il tredicesimo problema di Hilbert chiede se le equazioni di settimo grado possano essere risolte usando una composizione di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione più funzioni algebriche di due variabili, massime.

La risposta è probabilmente no. Ma per Farb, la domanda non riguarda solo la risoluzione di un tipo complicato di equazione algebrica. Il tredicesimo di Hilbert è uno dei problemi aperti più fondamentali in matematica, ha detto, perché provoca domande profonde: quanto sono complicati i polinomi e come lo misuriamo? “Una vasta gamma di matematica moderna è stata inventata per comprendere le radici dei polinomi”, ha detto Farb.

Il problema ha portato lui e il matematico Jesse Wolfson dell’Università della California, a Irvine, in una tana matematica, i cui tunnel stanno ancora esplorando. Hanno anche chiamato Mark Kisin , un teorico dei numeri all’Università di Harvard e un vecchio amico di Farb, per aiutarli a scavare.

Non hanno ancora risolto il 13 ° problema di Hilbert e probabilmente non sono nemmeno vicini, ha ammesso Farb. Ma hanno portato alla luce strategie matematiche che erano praticamente scomparse e hanno esplorato le connessioni tra il problema e una varietà di campi tra cui analisi complessa, topologia , teoria dei numeri , teoria della rappresentazione e geometria algebrica . In tal modo, si sono fatti strada da soli, specialmente nel collegare i polinomi alla geometria e restringere il campo delle possibili risposte alla domanda di Hilbert. Il loro lavoro suggerisce anche un modo per classificare i polinomi utilizzando metriche di complessità, analoghe alle classi di complessità associate al problema irrisolto P vs. NP .

“Sono davvero riusciti a estrarre dalla domanda una versione più interessante” di quelle studiate in precedenza, ha detto Daniel Litt , un matematico presso l’Università della Georgia. “Stanno sensibilizzando la comunità dei matematici a molte domande naturali e interessanti”.

Apri e chiudi e riapri

Molti matematici pensavano già che il problema fosse risolto. Questo perché un prodigio sovietico di nome Vladimir Arnold e il suo mentore, Andrey Nikolyevich Kolmogorov, ne pubblicarono le prove alla fine degli anni ’50. Per la maggior parte dei matematici, il lavoro di Arnold-Kolmogorov ha chiuso il libro. Anche Wikipedia – non una fonte definitiva, ma un ragionevole proxy per la conoscenza pubblica – fino a poco tempo fa ha dichiarato chiuso il caso.

Ma cinque anni fa, Farb si imbatté in alcune linee allettanti in un saggio di Arnold, in cui il famoso matematico rifletteva sul suo lavoro e sulla sua carriera. Farb fu sorpreso di vedere che Arnold descrisse il tredicesimo problema di Hilbert come aperto e in realtà aveva trascorso quattro decenni cercando di risolvere il problema che presumibilmente aveva già superato.

“Ci sono tutti questi documenti che ripetono letteralmente che è stato risolto. Chiaramente non avevano alcuna comprensione del problema reale “, ha detto Farb. Stava già lavorando con Wolfson, allora ricercatore post-dottorato, a un progetto di topologia, e quando ha condiviso ciò che aveva trovato nel documento di Arnold, Wolfson è intervenuto. Nel 2017, durante un seminario per celebrare il 50 ° compleanno di Farb, Kisin ha ascoltato il discorso di Wolfson e si rese conto con sorpresa che le loro idee sui polinomi erano correlate a questioni nel suo lavoro sulla teoria dei numeri. Si è unito alla collaborazione.

Il motivo della confusione sul problema divenne presto chiaro: Kolmogorov e Arnold avevano risolto solo una variante del problema. La loro soluzione ha coinvolto quelle che i matematici chiamano funzioni continue, che sono funzioni senza discontinuità improvvise o cuspidi. Includono operazioni familiari come funzioni seno, coseno ed esponenziale, oltre a funzioni più esotiche.

Ma i ricercatori non sono d’accordo sul fatto che Hilbert fosse interessato a questo approccio. “Molti matematici credono che Hilbert intendesse davvero funzioni algebriche, non funzioni continue”, ha detto Zinovy ​​Reichstein , un matematico dell’Università della British Columbia. Farb e Wolfson hanno lavorato al problema che ritengono intendesse Hilbert sin dalla loro scoperta.

Il tredicesimo di Hilbert, ha detto Farb, è un caleidoscopio. “Apri questa cosa, e più ci metti dentro, più nuove direzioni e idee ottieni”, ha detto. “Spalanca le porte a tutta una serie, tutta questa bellissima rete di matematica.”

Le radici della materia

I matematici hanno sondato i polinomi da quando esiste la matematica. Tavolette di pietra scolpite più di 3000 anni fa mostrano che gli antichi matematici babilonesi usavano una formula per risolvere i polinomi di secondo grado, un antenato cuneiforme della stessa formula quadratica che gli studenti di algebra imparano oggi. Quella formula, , ti dice come trovare le radici, o i valori di x che fanno un’espressione uguale a zero, del polinomio di secondo grado .

Nel corso del tempo, i matematici si sono naturalmente chiesti se tali formule pulite esistessero per polinomi di grado superiore. “La storia plurimillenaria di questo problema consiste nel tornare a qualcosa di così potente, semplice ed efficace”, ha affermato Wolfson.

Più i polinomi crescono di grado, più diventano ingombranti. Nel suo libro del 1545 Ars Magna , il poliedrico italiano Gerolamo Cardano pubblicò formule per trovare le radici dei polinomi cubici (terzo grado) e quartici (quarto grado).

Le radici di un polinomio cubico scritto possono essere trovate usando questa formula:

La formula quartica è anche peggiore.

“Man mano che aumentano di grado, aumentano di complessità; formano una torre di complessità “, ha detto Curt McMullen di Harvard. “Come possiamo catturare quella torre di complessità?”

Il matematico italiano Paolo Ruffini sostenne nel 1799 che i polinomi di grado 5 o superiore non potevano essere risolti usando aritmetica e radicali; il norvegese Niels Henrik Abel lo dimostrò nel 1824. In altre parole, non può esserci una simile “formula quintica”. Fortunatamente, sono emerse altre idee che hanno suggerito soluzioni per polinomi di grado superiore, che potrebbero essere semplificati attraverso la sostituzione. Ad esempio, nel 1786, un avvocato svedese di nome Erland Bring dimostrò che qualsiasi equazione polinomiale quintica della forma poteva essere riorganizzata da (dove p e q sono numeri complessi determinati da un, b, c, d, e, f). Ciò indicava nuovi modi per avvicinarsi alle regole intrinseche ma nascoste dei polinomi.

Nel diciannovesimo secolo, William Rowan Hamilton riprese da dove Bring e altri avevano interrotto. Ha dimostrato, tra le altre cose, che per trovare le radici di qualsiasi equazione polinomiale di sesto grado, sono necessarie solo le normali operazioni aritmetiche, alcune radici quadrate e cubiche e una formula algebrica che dipende solo da due parametri.

Nel 1975 l’algebrista americano Richard Brauer di Harvard introdusse l’idea di “grado risolutivo”, che descrive il minor numero di termini necessari per rappresentare il polinomio di un certo grado. (Meno di un anno dopo, Arnold e il teorico dei numeri giapponese Goro Shimura hanno introdotto quasi la stessa definizione in un altro articolo.)

Nel quadro di Brauer, che rappresentava il primo tentativo di codificare le regole di tali sostituzioni, il 13 ° problema di Hilbert ci chiede se sia possibile che i polinomi di settimo grado abbiano un grado risolutivo inferiore a 3; in seguito, fece congetture simili sui polinomi di sesto e ottavo grado.

Ma queste domande ne invocano anche una più ampia: qual è il numero minimo di parametri di cui hai bisogno per trovare le radici di un polinomio? Quanto in basso si può andare?

Pensare visivamente

Un modo naturale per affrontare questa domanda è pensare a che aspetto hanno i polinomi. Un polinomio può essere scritto come una funzione – , per esempio – e quella funzione può essere rappresentata graficamente. Quindi trovare le radici diventa una questione di riconoscere che dove la funzione ha valore 0, la curva incrocia l’asse x .

I polinomi di grado superiore danno origine a figure più complicate. Le funzioni polinomiali di terzo grado con tre variabili, ad esempio, producono superfici lisce ma tortuose incorporate in tre dimensioni. E ancora, sapendo dove guardare queste cifre, i matematici possono imparare di più sulla loro struttura polinomiale sottostante.

Di conseguenza, molti sforzi per comprendere i polinomi prendono in prestito dalla geometria e topologia algebriche, campi matematici che si concentrano su ciò che accade quando forme e figure vengono proiettate, deformate, schiacciate, allungate o altrimenti trasformate senza rompersi. “Henri Poincaré fondamentalmente ha inventato il campo della topologia e ha detto esplicitamente che lo stava facendo per comprendere le funzioni algebriche”, ha detto Farb. “A quel tempo, le persone stavano davvero lottando con queste connessioni fondamentali.”

Lo stesso Hilbert ha scoperto una connessione particolarmente notevole applicando la geometria al problema. Quando enumerò i suoi problemi nel 1900, i matematici avevano una vasta gamma di trucchi per ridurre i polinomi, ma non potevano ancora fare progressi. Nel 1927, tuttavia, Hilbert descrisse un nuovo trucco. Iniziò identificando tutti i modi possibili per semplificare i polinomi di nono grado e trovò al loro interno una famiglia di speciali superfici cubiche.

Hilbert sapeva già che ogni superficie cubica liscia – una forma tortuosa definita da polinomi di terzo grado – contiene esattamente 27 linee rette, indipendentemente da quanto appaia aggrovigliata. (Quelle linee cambiano al variare dei coefficienti dei polinomi.) Si rese conto che se conoscesse una di quelle linee, avrebbe potuto semplificare il polinomio di nono grado per trovare le sue radici. La formula richiedeva solo quattro parametri; in termini moderni, ciò significa che il grado risolutivo è al massimo 4.

“L’incredibile intuizione di Hilbert era che questo miracolo della geometria – da un mondo completamente diverso – poteva essere sfruttato per ridurre il valore a 4”, ha detto Farb.

Verso una rete di connessioni

Quando Kisin aiutò Farb e Wolfson a collegare i punti, si resero conto che l’ipotesi diffusa che il tredicesimo di Hilbert fosse risolto aveva sostanzialmente chiuso l’interesse per un approccio geometrico al grado risolutivo. Nel gennaio 2020, Wolfson ha pubblicato un documento che ravviva l’idea estendendo il lavoro geometrico di Hilbert sui polinomi di nono grado a una teoria più generale.

Hilbert si era concentrato sulle superfici cubiche per risolvere i polinomi di nono grado in una variabile. Ma che dire dei polinomi di grado superiore? Per risolverli in un modo simile, pensò Wolfson, potresti sostituire quella superficie cubica con qualche “ipersuperficie” di dimensione superiore formata da quei polinomi di grado superiore in molte variabili. La geometria di questi è meno compresa, ma negli ultimi decenni i matematici sono stati in grado di dimostrare che le ipersuperfici hanno sempre linee in alcuni casi.

L’idea di Hilbert di utilizzare una linea su una superficie cubica per risolvere un polinomio di nono grado può essere estesa a linee su queste ipersuperfici di dimensioni superiori. Wolfson ha utilizzato questo metodo per trovare nuove formule più semplici per i polinomi per determinati gradi. Ciò significa che anche se non puoi visualizzarlo, puoi risolvere un polinomio di 100 gradi “semplicemente” trovando un piano su un’ipersuperficie cubica multidimensionale (47 dimensioni, in questo caso).

Con questo nuovo metodo, Wolfson ha confermato il valore di Hilbert del grado risolvente per i polinomi di nono grado. E per altri gradi di polinomi, specialmente quelli sopra il grado 9, il suo metodo restringe i valori possibili per il grado risolvente.

Quindi, questo non è un attacco diretto al tredicesimo di Hilbert, ma piuttosto ai polinomi in generale. “Hanno trovato alcune domande adiacenti e hanno fatto progressi su quelle, alcune delle quali di lunga data, nella speranza che questo possa far luce sulla domanda originale”, ha detto McMullen. E il loro lavoro punta a nuovi modi di pensare a queste costruzioni matematiche.

Questa teoria generale del grado risolutivo mostra anche che le congetture di Hilbert sulle equazioni di sesto, settimo e ottavo grado sono equivalenti a problemi in altri campi della matematica apparentemente non correlati. Il grado risolutivo, ha affermato Farb, offre un modo per classificare questi problemi in base a una sorta di complessità algebrica, piuttosto come raggruppare i problemi di ottimizzazione in classi di complessità.

Anche se la teoria è iniziata con il tredicesimo di Hilbert, tuttavia, i matematici sono scettici sul fatto che possa effettivamente risolvere la questione aperta sui polinomi di settimo grado. Parla a grandi paesaggi matematici inesplorati di dimensioni inimmaginabili, ma colpisce un muro di mattoni ai numeri più bassi e non può determinare i loro gradi risolutivi.

Per McMullen, la mancanza di progressi – nonostante questi segni di progresso – è di per sé interessante, poiché suggerisce che il problema nasconde segreti che la matematica moderna semplicemente non riesce a comprendere. “Non siamo stati in grado di affrontare questo problema fondamentale; ciò significa che c’è un’area oscura in cui non siamo entrati “, ha detto.

“Risolverlo richiederebbe idee completamente nuove”, ha detto Reichstein, che ha sviluppato le sue nuove idee sulla semplificazione dei polinomi utilizzando un concetto che chiama dimensione essenziale. “Non c’è modo di sapere da dove verranno.”

Ma il trio è imperterrito. “Non ho intenzione di rinunciare a questo”, ha detto Farb. “È decisamente diventata una specie di balena bianca. Ciò che mi fa andare avanti è questa rete di connessioni, la matematica che la circonda. “

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Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/mathematicians-probe-unsolved-hilbert-polynomial-problem-20210114/ in data Thu, 14 Jan 2021 17:40:52 +0000.