Dimostrazione matematica emblematica Elimina ostacolo nella congettura di Erdős superiore
Una coppia di matematici ha risolto il primo pezzo di una delle congetture più famose sulle proprietà additive dei numeri interi. Proposto più di 60 anni fa dal leggendario matematico ungherese Paul Erdős, la congettura chiede quando un elenco infinito di numeri interi conterrà sicuramente schemi di almeno tre numeri equidistanti, come 26, 29 e 32.
Erdős ha posto migliaia di problemi nel corso della sua carriera, ma la domanda su quali elenchi di numeri contengano numeri equidistanti (ciò che i matematici chiamano progressioni aritmetiche) era uno dei suoi favoriti di tutti i tempi. "Penso che molte persone lo abbiano considerato il problema numero uno di Erdős", ha affermato Timothy Gowers dell'Università di Cambridge. Gowers, che ha vinto la Fields Medal nel 1998, ha trascorso molte ore nel tentativo di risolverlo. "Abbastanza bene qualsiasi combinazionialista additivo che è ragionevolmente ambizioso ha provato a farlo", ha detto, riferendosi al ramo della matematica a cui appartiene la congettura.
Di norma, un elenco di numeri più denso ha una maggiore probabilità di contenere progressioni aritmetiche rispetto a un elenco più parsimonioso, quindi Erdős ha proposto un semplice test di densità: basta sommare i reciproci dei numeri sul proprio elenco. Se i tuoi numeri sono abbastanza abbondanti da rendere questa somma infinita, Erdős ipotizza che la tua lista dovrebbe contenere infinitamente molte progressioni aritmetiche di ogni lunghezza finita – triple, quadruple e così via.
Ora, in un articolo pubblicato online il 7 luglio, Thomas Bloom di Cambridge e Olof Sisask dell'Università di Stoccolma hanno dimostrato la congettura quando si tratta di triple equidistanti, come 5, 7 e 9. La coppia ha dimostrato che ogni volta la somma di un elenco di numeri dei reciproci è infinito, deve contenere un'infinità di triple triple equidistanti.
"Questo risultato è stato un obiettivo fondamentale per molti anni", ha dichiarato Nets Katz del California Institute of Technology. "È un grosso problema."
Un insieme i cui reciproci si sommano all'infinito sono i numeri primi, quei numeri divisibili solo per 1 e se stessi. Negli anni '30, Johannes van der Corput usò la speciale struttura dei numeri primi per dimostrare che in effetti contengono un'infinità di triple triple equidistanti (come 17, 23 e 29).
Ma la nuova scoperta di Bloom e Sisask significa che non è necessaria una profonda conoscenza della struttura unica dei numeri primi per dimostrare che contengono infinitamente molte triple. Tutto quello che devi sapere è che i numeri primi sono abbastanza abbondanti da rendere infinita la somma dei loro reciproci, un fatto che i matematici conoscono da secoli. "Il risultato di Thomas e Olof ci dice che anche se i numeri primi avessero una struttura completamente diversa da quella che effettivamente hanno, il semplice fatto che ci siano tanti numeri primi quanti ne garantirebbero un'infinità di progressioni aritmetiche", ha scritto Tom Sanders del Università di Oxford in un'e-mail.
Il nuovo documento è lungo 77 pagine e ci vorrà del tempo prima che i matematici lo controllino attentamente. Ma molti si sentono ottimisti sul fatto che sia corretto. "Sembra davvero come dovrebbe essere una prova di questo risultato", ha detto Katz, il cui lavoro precedente ha gettato gran parte delle basi per questo nuovo risultato.
Il teorema di Bloom e Sisask implica che finché l'elenco dei numeri è abbastanza denso, devono emergere determinati schemi. La scoperta obbedisce a ciò che Sarah Peluse di Oxford ha definito lo slogan fondamentale di quest'area della matematica (originariamente dichiarata da Theodore Motzkin): "Il disordine completo è impossibile".
Densità sotto mentite spoglie
È facile creare un elenco infinito senza progressioni aritmetiche se si rende l'elenco abbastanza scarso. Ad esempio, si consideri la sequenza 1, 10, 100, 1.000, 10.000, … (i cui reciproci si sommano al decimale finito 1.11111 …). Questi numeri si diffondono così rapidamente che non puoi mai trovarne tre distribuiti uniformemente.
Potresti chiederti, tuttavia, se esistono insiemi di numeri significativamente più densi che evitano ancora progressioni aritmetiche. Ad esempio, potresti percorrere la linea numerica e mantenere ogni numero che non completa una progressione aritmetica. Questo crea la sequenza 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, …, che all'inizio sembra piuttosto densa. Ma diventa incredibilmente scarso quando si passa a numeri più alti – ad esempio, quando si arriva a numeri di 20 cifre, solo circa lo 0,000009% degli interi numeri fino a quel punto sono nell'elenco. Nel 1946, Felix Behrend trovò esempi più densi , ma anche questi divennero molto sparsi molto rapidamente: un set di Behrend che arriva a numeri di 20 cifre contiene circa lo 0,001% dei numeri interi.
All'altro estremo, se il tuo set comprende quasi tutti i numeri interi, conterrà sicuramente progressioni aritmetiche. Ma tra questi due estremi c'è un mezzo vasto, in gran parte inesplorato. Quanto scarso puoi realizzare il tuo set, si sono chiesti i matematici, ed essere ancora sicuro che avrà progressioni aritmetiche?
Erdős (forse in collaborazione con il matematico ungherese Pál Turán, dicono alcuni) ha fornito una possibile risposta. La sua condizione sulla somma dei reciproci è un'affermazione sulla densità sotto mentite spoglie: risulta essere la stessa che dire che la densità della tua lista fino a qualsiasi numero N è almeno circa 1 sul numero di cifre in N. In altre parole, è OK che il tuo elenco diventi più parsimonioso man mano che esci lungo la linea numerica, ma solo se lo fa molto lentamente: attraverso numeri a 5 cifre l'elenco dovrebbe avere una densità almeno di circa 1/5; attraverso numeri di 20 cifre dovrebbe avere una densità di almeno circa 1/20; e così via. A condizione che questa condizione di densità sia soddisfatta, congettura di Erdős, l'elenco dovrebbe contenere infinitamente molte progressioni aritmetiche di ogni lunghezza.
Nel 1953, Klaus Roth iniziò i matematici su un percorso verso la dimostrazione della congettura di Erdős. Nel lavoro che gli ha aiutato a guadagnare una medaglia Fields cinque anni dopo, ha istituito una funzione di densità che garantisce triple triplicate uniformemente – non una densità bassa come quella di Erdős, ma comunque una che si avvicina allo zero man mano che esci lungo la linea numerica. Il teorema di Roth significava che un elenco di numeri la cui densità alla fine scivolasse sotto l'1%, quindi sotto lo 0,1%, e quindi sotto lo 0,01%, e così via, deve contenere progressioni aritmetiche purché scivoli abbastanza lentamente sotto quelle soglie.
L'approccio di Roth si basava, prima di tutto, sul fatto che la maggior parte delle liste con la sua densità prescelta "vogliono" avere progressioni aritmetiche – hanno abbastanza coppie diverse di numeri che quasi sicuramente, alcuni dei punti medi tra queste coppie appariranno anche nella lista , creando triple triplicate. La parte difficile è stata come ottenere da "quasi" elenchi di numeri a "tutti" elenchi di numeri, anche quelli la cui struttura potrebbe essere appositamente inventata per cercare di evitare progressioni aritmetiche.
Dato uno di questi elenchi altamente strutturati, Roth ha avuto l'idea di distillare la sua struttura mappando il suo "spettro di frequenza", usando quella che viene chiamata la trasformata di Fourier. Questo rileva quali schemi ripetitivi si presentano in modo particolarmente forte: è la stessa matematica che sta alla base di tecnologie come la cristallografia a raggi X e la spettroscopia radio.
Alcune frequenze verranno mostrate più fortemente di altre e queste variazioni evidenziano schemi – per esempio, una frequenza forte potrebbe indicare che l'elenco contiene più numeri dispari di quelli pari. In tal caso, puoi concentrarti solo sui numeri dispari e ora hai un set più denso (rispetto a tutti i numeri dispari) rispetto all'insieme con cui hai iniziato (rispetto a tutti i numeri). Roth è stato in grado di dimostrare che dopo un numero finito di tali distillazioni, hai un set così denso che deve contenere progressioni aritmetiche.
L'approccio di Roth ha ispirato molti sviluppi nella teoria dei numeri analitici nell'ultimo mezzo secolo, ha affermato Jacob Fox della Stanford University. "Queste erano idee molto influenti."
Gioco, set, partita
L'argomentazione di Roth ha funzionato solo per set abbastanza densi, altrimenti le ripetute distillazioni hanno semplicemente fatto evaporare il set. Altri matematici hanno gradualmente trovato il modo di spremere più succo dal metodo di Roth, ma non sono riusciti a scendere fino alla densità nella congettura di Erdős. "Questa sembrava essere una barriera davvero difficile da attraversare", ha detto Fox.
Poi, nel 2011, Katz e Michael Bateman hanno scoperto come superare questa barriera in un ambiente più semplice: il set di giochi di carte, in cui si cercano triplette di carte a motivi abbinati . C'è un modo preciso in cui una tripla Set corrispondente può essere considerata una progressione aritmetica e, proprio come con gli elenchi di numeri interi, puoi chiedere quale frazione delle carte devi disporre per essere sicuro di trovare almeno una tripla.
Questa domanda (che non riguarda solo il gioco Set standard ma anche le versioni più grandi con più carte) è un modello di giocattolo naturale per la domanda corrispondente sui numeri interi. Quindi i matematici speravano che la svolta di Bateman e Katz potesse offrire una via per dimostrare la congettura di Erdős, specialmente se combinata con altri recenti progressi . Poco dopo l'uscita del documento di Bateman e Katz, Gowers convocò un progetto Polymath – una massiccia collaborazione online – per tentare.
Ma il progetto ha subito una battuta d'arresto. "C'era un così alto grado di argomenti tecnici coinvolti", ha detto Gowers. "Si trattava più di un progetto adatto a una o due persone che si allontanavano per molto, molto tempo".
Fortunatamente, una coppia di matematici si stava preparando per fare proprio questo. Bloom e Sisask avevano già iniziato a pensare al problema delle congetture di Erdős, inizialmente separatamente, entrambi affascinati dalla bellezza delle tecniche coinvolte. "Questo è stato uno dei primi problemi di ricerca che io abbia mai incontrato", ha detto Sisask, che come Bloom è ormai a metà degli anni '30.
Bloom e Sisask hanno unito le loro forze nel 2014 e nel 2016 hanno pensato di essere passati a una soluzione. Bloom ha persino annunciato il risultato in una lezione, solo per rendersi conto in seguito che alcune delle loro scorciatoie erano insostenibili. La coppia continuò ad andare, immergendosi nei meccanismi interni del metodo di Bateman e Katz e alla fine scoprendo quali nuove idee avrebbero permesso loro di trasferirlo dal mondo di Set a numeri interi.
Il nuovo articolo sembra avere tutti i pezzi giusti, ha detto Katz. "Non credevo alle loro precedenti affermazioni, e ci credo."
Il lavoro di Bloom e Sisask è "un grande risultato", ha detto Fox. Lui e altri matematici sono ansiosi di scoprire se le tecniche del nuovo documento avranno applicazioni ad altri problemi. "Penso che saranno davvero i metodi che avranno il maggiore impatto", ha detto Fox.
Per quanto riguarda l'intera congettura di Erdős, il lavoro è tutt'altro che concluso. Bloom e Sisask hanno solo dimostrato la congettura per triple triple equidistanti, non per progressioni aritmetiche più lunghe, un compito che attualmente sembra fuori portata.
E anche nel caso delle triple, che Bloom e Sisask hanno risolto, molti matematici considerano la congettura di Erdős come una specie di aringa rossa. Per quanto sia stato difficile dimostrare che la densità di Erdős ti garantisce triple triple equidistanti, i matematici sospettano che la vera densità alla quale questa garanzia decade è probabilmente molto più bassa – forse solo una tonalità superiore alla densità degli insiemi costruiti da Behrend che evitano progressioni aritmetiche .
"Non è che l'abbiamo risolto completamente", ha detto Bloom. "Abbiamo appena fatto un po 'più di luce sull'argomento."
Bloom e Sisask hanno probabilmente spinto i metodi attuali il più lontano possibile, ha detto Fox. "Devono esserci strumenti davvero nuovi che farebbero molto, per ottenere qualcosa di sostanzialmente migliore", ha detto. Ma "questa probabilmente non è la fine della storia".
Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/landmark-math-proof-clears-hurdle-in-top-erdos-conjecture-20200803/ in data Mon, 03 Aug 2020 15:30:31 +0000.