Le due forme della bellezza matematica
Una pratica consolidata nei circoli matematici consiste nel dividere il campo in due. C'è il tradizionale argomento "applicato contro puro", che rispecchia la divisione sperimentale-teorica di altre discipline: la tensione tra l'avanzamento della conoscenza verso un fine specifico e il farlo per se stesso. Oppure possiamo dividere in due la matematica nello stesso modo in cui il nostro cervello è diviso, con un "emisfero sinistro" algebrico che pensa in sequenze logiche e un "emisfero destro" geometrico che ha un approccio più visivo. Ma il campo si scompone anche secondo una distinzione più sottile: la preferenza di due gusti di bellezza matematica.
È difficile per i non esperti vedere la matematica come bella in primo luogo. La bellezza è negli occhi di chi guarda, certo, ma è anche difficile vedere quando l'opera d'arte è nascosta nell'oscurità, oscurata da una nuvola impenetrabile di simboli e gergo. Cercare di apprezzare la matematica senza comprenderne il funzionamento interiore è come leggere una descrizione della Quinta Sinfonia di Beethoven invece di ascoltarla.
Eppure i matematici non hanno scrupoli nel descrivere seriamente le loro equazioni e prove come belle. È un senso estetico che si è dimostrato straordinariamente universale, esistente in culture e epoche diverse: un matematico babilonese e uno studente moderno potrebbero trovare la stessa gioia nello studiare una perfetta disposizione delle linee nella geometria del piano o nel risolvere un'equazione quadratica.
E in termini approssimativi, la bellezza matematica può presentarsi in una delle due forme, generica o eccezionale. Andrei al punto di dire che i matematici stessi arrivano anche in questi due gusti – almeno, tendono a gravitare su uno dei due poli.
La prima variante è una forma eterea di bellezza, che si riflette in strutture e schemi formali. È un senso di meraviglia per l'inesorabile ordine in cui il mondo matematico si organizza. Basti pensare a come perfettamente i numeri naturali si allineano in una fila infinita. Oppure considera la sequenza di spazi euclidei di dimensioni crescenti: una linea, un piano, uno spazio, ecc. O il rigore e la precisione della logica formale stessa. Queste strutture sono incredibilmente potenti e utili, e da una certa prospettiva che possono davvero essere belle.
Ma per quelli dall'altra parte del divario – che, a quanto pare, include la maggior parte delle persone e certamente la maggior parte dei non matematici – è difficile essere veramente eccitati dal concetto di uno spazio vettoriale in n dimensioni, o una funzione continua sul reale linea. Apprezzare queste idee è apprezzare una forma di astrazione, e questo senso estetico spesso sembra freddo e formale. È la bellezza di una regina del ghiaccio, ammirata da una distanza di sicurezza, mai da vicino.
La seconda forma di bellezza matematica è più correlabile. Riguarda le eccezioni alle regole, gli oggetti che non rientrano in nessuna categoria più ampia. Queste sono le curiosità, i pezzi unici, le incarnazioni matematiche di incantevoli fossili e strani minerali che riempirono i gabinetti di storia naturale nel XVII e XVIII secolo. Questa bellezza ha un aspetto molto diverso: è esotica, pittoresca, intima e, ovviamente, abbastanza soggettiva.
Considera, ad esempio, il dodecaedro, un oggetto preferito in molti gabinetti matematici di curiosità. È il solido normale costituito da 12 pentagoni ed è uno dei cinque solidi perfettamente simmetrici. La sua attrazione una volta mi è stata descritta come "complicata, ma non troppo complicata". La forma ha una lunga storia come simbolo dell'esoterico che risale agli antichi Greci, quando Platone suggerì una connessione tra i cinque oggetti, ora chiamati solidi platonici, e l'universo fisico. Il dodecaedro simboleggiava tutti i corpi celesti – le stelle e i pianeti, ognuno perfetto per forma e movimento. Da allora, questa forma matematica ha significato l'extraterrestre, ed è diventato un amato simbolo di alchimisti e astrologi. Da una moderna prospettiva matematica è ancora considerato eccezionale, uno dei pochi oggetti simmetrici che si reggono completamente da soli e non fanno parte di alcun modello più ampio. Ad esempio, è facile generalizzare un cubo o un tetraedro a un oggetto analogo in dimensioni arbitrarie, ma non esistono analoghi di dimensione superiore del dodecaedro.
Un altro disadattato matematico, un possesso di valore per qualsiasi gabinetto, è semplicemente noto come il mostro. È il più grande blocco eccezionale eccezionale dal quale possono essere costruiti tutti i gruppi di simmetria, una mostruosità matematica che può essere visualizzata solo in uno spazio di non meno di 196.883 dimensioni. A seconda dei tuoi gusti, il gruppo di mostri è l'oggetto più bello o più brutto di tutta la matematica.
Entrambi i tipi di bellezza hanno incantato i matematici nel corso degli anni e hanno portato a molti progressi. L'astrazione è uno strumento ovviamente potente. Permette di trattare contemporaneamente tutti i membri di una famiglia e pone i problemi in una prospettiva più ampia. Al matematico che segue la regina dei ghiacci spesso non piacciono le applicazioni concrete o casi specifici – Alexander Grothendieck, uno dei sommi sacerdoti dell'algebra astratta, una volta ha scelto 57 come esempio di un numero primo. (Non lo è.) Anche il fascino degli emarginati matematici è stata una strategia produttiva. Tali oggetti vivono spesso all'intersezione di più idee e possono fungere da punto di accesso tra mondi completamente diversi. Gli appassionati di questo stile non si preoccupano delle "sciocchezze astratte" e apprezzano le peculiarità del caso concreto, delle verruche e tutto il resto.
Ma il mondo reale è molto diverso dal panorama idealizzato della matematica. La maggior parte delle scienze sono legate all'universo che descrive il mondo reale, ma è solo una delle infinite possibilità matematiche. Mentre secondo quanto riferito Jean-Pierre Serre ha parlato con il suo collega matematico Raoul Bott, "Mentre le altre scienze cercano le regole che Dio ha scelto per questo Universo, noi matematici cerchiamo le regole a cui persino Dio deve obbedire".
Di fronte a questa domanda esistenziale: quali leggi segue veramente l'universo? – è naturale per la maggior parte degli scienziati gravitare verso gli affascinanti incantesimi degli oggetti eccezionali nell'armadietto. Ma la scienza ci ha insegnato che la forma astratta e austera della bellezza matematica spesso offre una scelta più sicura a lungo termine.
Una famosa dimostrazione di ciò comporta la comparsa dei solidi platonici nei primi lavori dell'astronomo Johannes Kepler. Propose un modello del sistema solare che basava le distanze tra le orbite planetarie su una particolare configurazione dei cinque solidi. È stata una bellissima idea, ma è stata condannata. Lo stesso Keplero in seguito respinse questo modello, dopo aver concluso che le orbite dei pianeti non formavano la singolare forma perfetta di un cerchio, ma avevano invece l'aspetto brutto di un'ellisse, che può assumere una gamma di forme diverse. Sembrava un netto passo indietro. Ha paragonato questa scoperta a un "carro pieno di letame" rimasto nelle stalle della scienza augustea.
Ma mentre inizialmente Keplero era stato sviato dalla sua preferenza per oggetti eccezionali, Isaac Newton avrebbe continuato a spiegare le orbite ellittiche dei pianeti basate sulla sua teoria della gravità universale. In effetti, ha mostrato come tutti i movimenti nei cieli fossero versioni di cerchi, ellissi, iperbole e parabole. La bellezza stava nelle leggi astratte di Newton, non nelle soluzioni specifiche.
Questa è una lezione che i fisici e gli scienziati in generale hanno imparato molte volte. Nel diciannovesimo secolo, gli scienziati si sono allontanati dalle raccolte casuali di armadi per curiosità per uno studio più sistematico del mondo naturale. I biologi hanno iniziato a raccogliere tutti gli esemplari in un gruppo di organismi, non solo le più belle farfalle o uccelli, e hanno scoperto la teoria generale dell'evoluzione. I chimici hanno classificato tutti gli elementi, andando oltre il semplice bling di argento e oro, e hanno scoperto i modelli della tavola periodica nel processo. I fisici hanno quindi rivelato le simmetrie delle particelle elementari nascoste negli atomi degli elementi.
Ogni volta, hanno scoperto che la bellezza dell'universo sta nelle strutture astratte sottostanti ai fenomeni fisici. Inizialmente queste strutture possono sembrare confuse e difficili da mettere in relazione, ma la visione a lungo termine spesso si rivela molto più potente e significativa. E, in effetti, più bello.
Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/how-is-math-beautiful-20200616/ in data Tue, 16 Jun 2020 13:00:56 +0000.