Il potere sconcertante dell’aritmetica semplice

Giocare con l’aritmetica può portarci a scoperte inaspettate e profonde che puntano verso una matematica più profonda e talvolta anche una scienza più profonda.

Il post The Puzzling Power of Simple Arithmetic è apparso per la prima volta su Quanta Magazine .

Il post The Puzzling Power of Simple Arithmetic è apparso per la prima volta su Quanta Magazine

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Abbiamo risolto il nostro ultimo puzzle di Insights eseguendo un po 'di aritmetica su una versione semplice di un problema complesso per scoprirne i modelli. Spesso questo approccio può rivelare intuizioni nascoste. Puoi anche usare semplici calcoli aritmetici per confermare che una formula complessa che hai derivato funziona davvero.

Forse più sorprendentemente, giocare con l'aritmetica può portarci a scoperte inaspettate e profonde che puntano verso una matematica più profonda e talvolta anche una scienza più profonda. Ad esempio, alcuni anni fa nel nostro puzzle " I geni sono egoisti o cooperativi? “Ho posto un semplice problema aritmetico che ha portato alcuni lettoria riscoprire una legge fondamentale della genetica. Certo, era già noto, ma replicare un importante principio scientifico semplicemente giocando con piccoli numeri è un'esperienza immensamente inebriante e gioiosa. È il genere di cose che ti faranno appassionare alla matematica. Oserei dire che se tali esempi di "scoperta guidata" fossero una parte normale dell'insegnamento della matematica nelle classi medie e inferiori, probabilmente non ci sarebbero così tante persone che odiano la matematica.

In questo spirito, presento alcuni semplici problemi aritmetici che spero vi daranno quella sensazione di scoperta. Puoi fare questi puzzle con carta e penna o utilizzare un foglio di calcolo. Se sei esperto nella programmazione, non saltare immediatamente alla scrittura di un programma per computer. Ti incoraggio a giocare un po 'prima. (E se riconosci dove stanno portando gli esempi, per favore non pubblicare spoiler per la prima settimana circa.)

Puzzle 1

1. Trova i prossimi tre numeri nella sequenza: 5634 (6543, 3456), 3087 (8730, 0378), 8352 …

   Prenditi il ​​tuo tempo per trovare lo schema, ma se hai bisogno di un suggerimento, fai clic qui:

   Suggerimento : scopri come i numeri tra parentesi sono correlati a quello alla loro sinistra. Quindi usa l'aritmetica per capire il numero successivo nella sequenza.
2. Seguire la stessa procedura per generare sequenze che iniziano con i seguenti numeri. Continua a generare numeri finché non accade qualcosa di interessante:

   io. 6372
   ii. 8956
   iii. 5058
   iv. 7191
   v. 5355

3. A questo punto dovresti aver fatto una scoperta. Ora prova la procedura con alcuni dei tuoi numeri a quattro cifre. Esplora ulteriormente: perché questo accade? Riesci a trovare eccezioni? Riesci a trovare numeri che richiedono più passaggi rispetto a uno qualsiasi dei nostri esempi? (Ora è il momento per i programmatori di avviare i tuoi programmi!)
4. Ecco un enigma di criptaritmo (sostituzione delle cifre) che può aiutare (per inciso, tutte queste parole sono accettabili in Scrabble). Quante soluzioni ti aspetti che abbia?
5. Se potessi fare la parte d nel sonno, ecco una versione più lunga con alcune Z ed E inserite. Le lettere che erano in parte d stanno per le stesse cifre. Puoi aggiungere più (o meno) Z – e le corrispondenti E – al numero EAST? Cosa significa questo nel contesto della scoperta originale? Un problema più difficile: questo significa che i numeri a otto cifre hanno una proprietà simile ai numeri a quattro cifre secondo la nostra procedura?

   Le persone hanno fatto calcoli per millenni, ma è stato solo nel 1955 che questo semplice comportamento dei numeri a quattro cifre è stato scoperto da un matematico che amava giocare con i numeri usando carta e penna. Cosa succede quando aumentiamo il numero di cifre? Bene, qualcosa di diverso, ma comunque interessante.

6. Prova ad applicare la stessa procedura che hai seguito nelle parti aeb di questo puzzle ai seguenti numeri. Continua finché non accade qualcosa di interessante:

   io. 53955
   ii. 62964
   iii. 420876

Il fenomeno del ciclismo visto in 1f sopra ha portato, in un contesto diverso, a una scoperta scientifica fondamentale, che esploreremo nel nostro secondo puzzle. In questo, eseguiamo calcoli iterativi utilizzando numeri decimali, quindi potresti voler utilizzare una calcolatrice con un tasto "Ans" che richiama l'ultima risposta, se ne hai una. Altrimenti, utilizza un foglio di calcolo. Guarda solo le prime cifre dei numeri che ottieni (usa il foglio di calcolo per mostrare solo tre cifre decimali).

Puzzle 2

1. In questo puzzle, iniziamo con il numero seme ( x ) che inizialmente è 0,5. Prima sottrailo da 1. Questo dà di nuovo 0,5. Moltiplichiamo questo nuovo numero per x e poi moltiplichiamo il prodotto per una costante ( k ) come 2.4 per valutare l'espressione kx (1 – x ). Questo dà 0.6. Questo è il nostro nuovo seme. Ora eseguiamo di nuovo la procedura. Sottrai 0,6 da 1 per ottenere 0,4. Moltiplica 0,6 per 0,4 e moltiplica di nuovo il prodotto per 2,4 per ottenere un nuovo seme e così via. Fai quanto sopra iniziando con un seme di 0,5 per le seguenti costanti. Ancora una volta, continua finché non vedi accadere qualcosa di interessante.

   io. 2.4
   ii. 3.3
   iii. 3.5
   iv. 3.55

2. Come avrai notato, c'è un cambiamento nel comportamento in ciascuno dei passaggi precedenti, poiché la costante k aumenta da 2,4 a 3,55. Si noti inoltre che il cambiamento nel comportamento avviene sempre più rapidamente all'aumentare di k . In effetti, questi sono i valori effettivi della costante quando il comportamento cambia a quanto osservato sopra per i casi da i a iv:

   io. 1
   ii. 3
   iii. 3.44949
   iv. 3.54409

   E i cambiamenti continuano in modo simile quando k incrocia:

   v. 3.5644043
   vi. 3.5687594
   vii. 3.5696916
   viii. 3.56989125

Puoi vedere che la sequenza di valori per k sembra convergere verso un limite. Inoltre, anche il rapporto tra differenze successive, come (3 – 1) / (3.44949 – 3) e così via, converge a un limite. Si scopre che il limite della sequenza è specifico dell'espressione che abbiamo usato. Il limite del rapporto tra differenze successive, invece, è una costante fondamentale della matematica, fondamentale come π ed e. Chiamiamolo ∂ (delta). Sorprendentemente, è stato scoperto solo attraverso procedure numeriche su equazioni semplici come questa nel 1975. Se guardi cosa abbiamo fatto, abbiamo semplicemente preso un'espressione quadratica kx (1 – x ) , iniziato con un valore seme di 0,5 e sostituito ciascuno x con il valore che abbiamo ottenuto nel ciclo successivo. Risulta che ∂ deriva da qualsiasi espressione quadratica che ha un singolo valore massimo sull'intero intervallo di x , come nell'espressione k – x ² . Poiché questi tipi di espressioni abbondano nei nostri modelli del mondo fisico, questa costante trova applicazioni in molte aree diverse della matematica e in molti rami della scienza.

Questo è il mio tentativo di "scoperta guidata", sebbene tu sia certamente libero di esplorare di più da solo se sei ispirato a farlo. A questo punto, non rivelerò quali siano le costanti che abbiamo trovato, perché non voglio darvi la tentazione di leggere di queste scoperte. Voglio che tu stesso provi il senso della scoperta e dell'esplorazione. Nella prima settimana circa, voglio solo vedere i commenti e le intuizioni di veri esploratori che non sapevano nulla di questi numeri in arrivo. Dopodiché, pubblicheremo commenti da persone che avevano familiarità con questi argomenti e lo faremo anche condividi video che ti diranno di più.

Buona esplorazione!

Nota del redattore: il lettore che presenta la soluzione più interessante, creativa o perspicace (secondo il giudizio del giornalista) nella sezione commenti riceverà una maglietta di Quanta Magazine o uno dei due libri di Quanta , Alice e Bob incontrano il muro di fuoco o The Prime Number Conspiracy (a scelta del vincitore). E se desideri suggerire un puzzle preferito per una futura colonna Approfondimenti, invialo come commento sotto, chiaramente contrassegnato come "NUOVO PUZZLE SUGGERITO". (Non apparirà online, quindi le soluzioni al puzzle di cui sopra dovrebbero essere inviate separatamente.)

Il post The Puzzling Power of Simple Arithmetic è apparso per la prima volta su Quanta Magazine .

Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all'URL https://www.quantamagazine.org/the-puzzling-power-of-simple-arithmetic-20210420/ in data Tue, 20 Apr 2021 14:00:19 +0000.