Gli scienziati informatici tentano di mettere all’angolo la congettura di Collatz
Negli ultimi anni, Marijn Heule ha utilizzato una tecnica di dimostrazione computerizzata chiamata SAT solving (dove SAT sta per "soddisfacibilità") per superare un elenco impressionante di problemi di matematica: il problema delle triple pitagoriche nel 2016, Schur numero 5 nel 2017 e ora quello di Keller congettura nella dimensione sette – un risultato che Quanta ha trattato nel nostro recente articolo , "La ricerca del computer risolve un problema di matematica di 90 anni".
Ma Heule, un informatico alla Carnegie Mellon University, ha puntato gli occhi su un obiettivo ancora più ambizioso: la congettura di Collatz, considerata da molti il più noto problema aperto in matematica (se anche uno dei più semplici da enunciare). Quando ho detto ad altri matematici che Heule stava tentando di farlo, la loro prima risposta è stata l'incredulità.
"Non vedo come potresti mai risolverlo completamente usando la risoluzione SAT", ha detto Thomas Hales dell'Università di Pittsburgh, leader nel campo delle prove informatiche. La tecnica aiuta efficacemente i matematici a risolvere problemi, alcuni con infinite possibilità, trasformandoli in problemi discreti e finiti.
Eppure Hales, come altri, era diffidente nel sottovalutare Heule. “È molto bravo a trovare modi intelligenti per codificare i problemi come problemi SAT. È semplicemente eccezionale in questo ".
Scott Aaronson dell'Università del Texas, Austin, che sta collaborando con Heule al lavoro di Collatz, ha aggiunto: "Marijn è qualcuno che ha un martello, che risolve SAT, e potrebbe essere il più grande portatore di quel martello al mondo in questo momento. Lo prova praticamente su tutto. " Il tempo dirà se riuscirà a trasformare Collatz in un chiodo.
La soluzione SAT implica prendere i problemi, trasformarli in affermazioni informatiche che utilizzano la logica proposizionale e utilizzare i computer per determinare se esiste un modo per rendere vere quelle affermazioni. Ecco un semplice esempio.
Diciamo che sei un genitore che cerca di organizzare l'assistenza all'infanzia. Una baby sitter può lavorare tutta la settimana tranne il martedì e il giovedì. Un altro può lavorare tutta la settimana tranne il martedì e il venerdì. Un terzo può lavorare tutta la settimana tranne giovedì e venerdì. Devi coprire martedì, giovedì e venerdì. Puoi farlo?
Un modo per scoprirlo è trasformare i vincoli di babysitter in una formula che fornisci a un risolutore SAT. Il programma capirà se c'è un modo di assegnare i giorni alle babysitter che renda la formula vera o "soddisfacente", il che significa che ottieni i tre giorni che desideri. In questo caso sei fortunato – c'è.
Sfortunatamente, molte delle domande più importanti in matematica non assomigliano immediatamente ai problemi SAT. Ma a volte possono essere riformulate come domande di soddisfacibilità in modi sorprendenti.
"È difficile prevedere quando un problema sarà ridotto a un calcolo enorme ma finito", ha detto Aaronson.
La congettura di Collatz è una di quelle domande di matematica che, all'inizio, non assomigliano affatto al problema del babysitter. Dice di scegliere un numero, qualsiasi numero desideri (a condizione che sia un numero intero diverso da zero). Se è dispari, moltiplicalo per 3 e aggiungi 1; se è pari, dividi per 2. Ora hai un nuovo numero. Applica le stesse regole, ottieni un nuovo numero e continua. La congettura prevede che, indipendentemente dal numero con cui hai iniziato, alla fine finirai con 1, a quel punto sarai bloccato in un piccolo loop: 1, 4, 2, 1.
Nonostante quasi un secolo di sforzi, i matematici non si sono avvicinati a dimostrarlo.
Ma questo non ha impedito a Heule di provarci. Nel 2018, lui e Aaronson – allora colleghi di Austin – hanno ricevuto finanziamenti dalla National Science Foundation per applicare la soluzione SAT alla congettura di Collatz.
Come primo passo, Aaronson, uno scienziato informatico, ha escogitato una formulazione alternativa della congettura di Collatz, chiamata sistema di riscrittura, che era più naturale per i computer con cui lavorare.
In un sistema di riscrittura, hai un insieme di simboli, come le lettere A, B e C. Li usi per formare sequenze: ACACBACB. Hai anche delle regole per trasformare quelle sequenze. Una regola potrebbe dire che ovunque vedi "AC" lo sostituisci con "BC". Un altro potrebbe sostituire "BC" con "AAA". Puoi avere un numero qualsiasi di regole che specificano i tipi di trasformazioni che desideri.
Gli informatici sono generalmente interessati a sapere se un dato sistema di riscrittura termina sempre. Cioè, indipendentemente dalla stringa con cui inizi e dall'ordine in cui applichi le regole, la stringa alla fine si trasforma in uno stato in cui non ci sono più regole che puoi applicare ad essa?
Aaronson ha ideato un sistema di riscrittura con sette simboli e 11 regole che era analogo alla procedura di Collatz. Se lui e Heule potessero dimostrare che questo sistema di riscrittura termina sempre, dimostrerebbero che la congettura è vera.
Per trasformare Collatz in un problema SAT, Aaronson e Heule hanno dovuto fare un ulteriore passo. Coinvolgeva le matrici, che sono matrici di numeri. Avevano bisogno di assegnare una matrice univoca a ciascuno dei simboli nel loro sistema di riscrittura. Questo approccio, un modo comune per provare a dimostrare che i sistemi di riscrittura terminano, consentirebbe loro di pensare alle trasformazioni dei simboli come alla moltiplicazione di matrici. Le sette matrici che rappresentano i sette simboli nel sistema di riscrittura dovevano soddisfare una serie di vincoli, riflettendo i modi in cui le 11 regole dovevano essere coerenti tra loro.
"Cerchi di trovare matrici che soddisfino questi vincoli", ha detto Emre Yolcu , uno studente laureato alla Carnegie Mellon che sta lavorando con Heule sul problema. "Se riesci a trovarli, dimostri la terminazione" e implicitamente, dimostri Collatz.
La domanda "Esistono matrici che soddisfano questi vincoli?" è un tipo di problema che risolve SAT. Aaronson e Heule hanno avviato il solutore SAT su piccole matrici 2 per 2. Non ha trovato nessuno che funzionasse. Successivamente hanno provato le matrici 3 per 3. Ancora una volta, senza fortuna. Heule e Aaronson continuavano ad aumentare le dimensioni delle matrici, sperando di trovare quelle giuste.
Tuttavia, questo approccio non può andare lontano, perché la complessità della ricerca delle matrici giuste cresce in modo esponenziale man mano che le matrici si ingrandiscono. Heule stima che qualsiasi cosa più grande delle matrici 12×12 superi la potenza di calcolo odierna.
"Non appena le matrici diventano troppo complesse, non è possibile risolvere il problema", ha detto.
Heule sta ancora lavorando all'ottimizzazione della ricerca, cercando di renderla più efficiente in modo che il solutore SAT possa controllare matrici sempre più grandi. Lui ei suoi collaboratori stanno lavorando a un documento che riassume ciò che hanno scoperto finora, ma sono quasi a corto di idee e probabilmente dovranno rinunciare presto a Collatz, almeno per ora.
Dopotutto, il fascino allettante della soluzione SAT è che se riesci a capire come controllare un altro caso, chiamare un'altra baby sitter, prolungare la ricerca ancora un po ', potresti trovare quello che stai cercando. A questo proposito, la risorsa principale di Heule potrebbe non essere la sua abilità con un risolutore SAT. Potrebbe essere il suo amore per la caccia.
"Sono solo un ragazzo ottimista", ha detto. "Mi sento spesso fortunato, quindi provo e vedo fin dove arrivo."
Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/can-computers-solve-the-collatz-conjecture-20200826/ in data Wed, 26 Aug 2020 14:45:11 +0000.