Un universo infinito di sistemi numerici

p -adics formano una collezione infinita di sistemi numerici basati su numeri primi. Sono al centro della moderna teoria dei numeri.”>

I numeri razionali sono i numeri più familiari: 1, -5, ½ e ogni altro valore che può essere scritto come rapporto tra numeri interi positivi o negativi. Ma possono ancora essere difficili da lavorare.

Il problema è che contengono buchi. Se ingrandisci una sequenza di numeri razionali, potresti avvicinarti a un numero che di per sé non è razionale. Questo mette in cortocircuito molti strumenti matematici di base, come la maggior parte del calcolo.

I matematici di solito risolvono questo problema disponendo i razionali in una riga e riempiendo gli spazi vuoti con numeri irrazionali per creare un sistema numerico completo che chiamiamo numeri reali.

Ma ci sono altri modi per organizzare i razionali e colmare le lacune: i numeri p- adici. Sono una collezione infinita di sistemi numerici alternativi, ciascuno associato a un numero primo univoco: il 2-adico, il 3-adico, il 5-adico e così via.

I -adics p possono sembrare profondamente estraneo. Nei 3-adici, per esempio, 82 è molto più vicino a 1 che a 81. Ma la stranezza è largamente superficiale: a livello strutturale, i p- adici seguono tutte le regole che i matematici vogliono in un sistema numerico ben educato.

Sviluppati oltre un secolo fa, i numeri p- adici sono diventati un contesto essenziale in cui indagare su questioni sui numeri razionali che risalgono a millenni.

Costruire la torre

I numeri p -adici si basano sull'aritmetica modulare, che è un metodo di conteggio che si ripete su se stesso, come un orologio. Proprio come 1300 su un orologio a 24 ore è uguale all'1 del pomeriggio, i matematici dicono che 13 "modulo 12" è equivalente a 1.

Per vedere come i sistemi di numeri p -adici emergono dall'aritmetica modulare, inizia classificando tutti gli interi modulo uno specifico numero primo. Classificare gli interi modulo 3, ad esempio, li ordina in tre bucket o stanze.

Puoi anche classificare numeri interi modulo potenze superiori di 3: modulo 9 (3 2 ) o modulo 27 (3 3 ).

I matematici ordinano i poteri modulo interi di 3 per rilevare le caratteristiche delle loro fattorizzazioni prime: gli interi che sono equivalenti a 0 modulo 3 sono nella stessa stanza e hanno almeno un 3 nelle loro fattorizzazioni prime; interi che sono equivalenti a 0 modulo 9 ne hanno almeno due; numeri interi equivalenti a 0 modulo 27 ne hanno almeno tre.

Ora immagina gli interi modulo 3, 9 e 27 impilati l'uno sull'altro come una torre. Ogni livello della torre è un'esatta triplice copertura del livello sottostante. Questo modello continua per sempre, creando un'elegante disposizione degli interi modulo potenze sempre più elevate di 3.

Ogni intero p -adic è definito seguendo un percorso infinito lungo la torre. Una vista a volo d'uccello di questa torre fornisce un'immagine di tutti i numeri interi p -adici.

Uno dei più grandi progressi della matematica del 21 ° secolo è un oggetto chiamato "spazio perfettoide", che incarna questa prospettiva. È stato sviluppato da Peter Scholze dell'Università di Bonn, che ha vinto la medaglia Fields nel 2018 in parte per questo lavoro. È solo un esempio di come i matematici fanno uso di queste torri a strati infiniti.

"Invece di considerare i singoli livelli della torre, si considera l'intera torre in una volta", ha affermato David Savitt della Johns Hopkins University. "Questa è una visione fondamentale che affiora ovunque nella moderna teoria dei numeri, nel programma Langlands e nella geometria aritmetica."

Aritmetica aliena

I matematici scrivono numeri p -adici in base alla frequenza con cui ogni potenza di p appare nell'espansione della "base p " del numero. Ad esempio, questo è il modo in cui scrivi 11 nelle 3 adiche:

La dimensione di un numero p -adico è determinata dalla prevalenza di p nella sua scomposizione in fattori primi. I numeri con più p sono più piccoli. Ad esempio, nel 3-adici, 486 è "piccolo" perché ha molti 3 nella sua scomposizione in fattori primi (486 = 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3).

Un altro modo per pensare alle dimensioni è pensare a quali numeri sono vicini a 0. Nelle p -adic, gli interi sono più vicini quando condividono una stanza ai livelli più alti della torre. I numeri 0 e 486 condividono una stanza fino al quinto livello, mentre 0 e 6 condividono una stanza solo al primo livello, indicando che 0 è più vicino a 486 che a 6 (e quindi 486 è minore di 6).

Le torri p- adiche accolgono le frazioni espandendo la torre sotterranea. I numeri con grandi potenze di p nei numeratori sono piccoli, mentre i numeri con grandi potenze di p nei denominatori sono grandi.

Anche l'aritmetica ha un aspetto diverso. Prendiamo, ad esempio, la somma 486 + 486 = 972. Nei numeri reali, 972 è molto più grande di 486. Ma nei 3-adici, 972 ha la stessa dimensione di 486, perché sia ​​la somma (972) che la somma (486) hanno lo stesso numero di 3 nella loro scomposizione in fattori primi.

Le p -adiche assumono una forma diversa dalla linea del numero reale: formano un frattale costituito dalle stanze infinitamente annidate nella “cima” della torre p -adica. Ma questo frattale ha le sue lacune. I matematici li riempiono formando il "completamento" dei razionali p -adici – una procedura analoga all'aggiunta di valori irrazionali alla retta numerica. In questo senso, almeno, i principi alla base dei numeri p- adici e dei numeri reali sono simili.

"Sono tutti completamenti, quindi in realtà hanno molto in comune", ha detto Jessica Fintzen dell'Università di Cambridge e della Duke University.

Una grande famiglia

La famiglia infinita dei sistemi numerici p -adici fornisce ai matematici un'ampia gamma di impostazioni in cui esplorare le questioni sui numeri razionali.

Ad esempio, i matematici vorrebbero sapere quando equazioni polinomiali come 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 hanno soluzioni razionali. Questa è generalmente una domanda difficile. Ma è relativamente facile trovare soluzioni p -adic.

“Le cose vogliono essere bello nel corso degli -adics p. Vogliono avere soluzioni ", ha detto Bianca Viray dell'Università di Washington.

Uno strumento utilizzato dai matematici per rispondere a questa domanda è il principio locale-globale, o principio di Hasse, che risale agli anni '20. Propone che se un polinomio ha una soluzione nei numeri reali e in tutti i numeri p -adici, allora quel polinomio ha anche una soluzione nei numeri razionali. Il principio locale-globale è vero per alcuni tipi di polinomi ma non per altri.

La premessa alla base del principio locale-globale sembra strana: per provare l'esistenza di soluzioni all'interno dei numeri razionali, i matematici cercano soluzioni in infinitamente molti altri sistemi numerici – i reali e tutti i p -adici.

La necessità di lavorare in questo modo evidenzia la portata dei problemi creati dai buchi nei numeri razionali: devi attraversare l'universo solo per aggirarli. Allo stesso tempo, suggerisce che in un cosmo di infiniti sistemi numerici, sarebbe quasi strano limitarci a quello che è più vicino a casa.

“Siamo tutti sulla Terra e lavoriamo con i reali, ma se si è andato il resto, ci si Lavoriamo con le -adics p”, ha spiegato Viray. "Sono i reali che sono i valori anomali."


Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/ in data Mon, 19 Oct 2020 14:05:36 +0000.