Studente universitario di matematica spinge la frontiera della teoria dei grafi
Il 19 maggio, Ashwin Sah ha pubblicato il miglior risultato di sempre su una delle domande più importanti in campo combinatorio . Era un momento che avrebbe potuto richiedere un drink celebrativo, solo che Sah non era abbastanza grande per ordinarne uno.
La dimostrazione si univa a una lunga lista di risultati matematici che Sah, che ha compiuto 21 anni a novembre, ha pubblicato mentre era uno studente universitario al Massachusetts Institute of Technology (ha pubblicato questa nuova prova subito dopo la laurea). È una rara dimostrazione di precocità anche in un campo che celebra il genio giovanile.
"Ha svolto abbastanza lavoro come studente universitario per ottenere una posizione di facoltà", ha detto David Conlon del California Institute of Technology.
La dimostrazione di maggio si è concentrata su un'importante caratteristica della combinatoria chiamata numeri di Ramsey, che quantificano quanto può essere grande un grafo (un insieme di punti, o vertici, collegati da spigoli) prima che contenga necessariamente un certo tipo di sottostruttura.
Ad esempio, immagina di avere sei vertici, ciascuno connesso a ogni altro vertice da bordi. Ora colora ciascuno dei 15 bordi totali rosso o blu. Non importa come applichi i colori, è inevitabile che ti ritroverai con tre vertici che sono tutti collegati tra loro da bordi dello stesso colore (noto come "clique"). Lo stesso non è vero, però, se inizi con cinque vertici (per i quali è possibile fare la colorazione senza creare una cricca). Di conseguenza, i matematici dicono che il numero di Ramsey per due colori e una cricca di dimensione 3 è 6, il che significa che sono necessari almeno sei vertici per garantire che esista la cricca.
Man mano che la dimensione della cricca che stai cercando cresce, diventa molto difficile calcolare i numeri esatti di Ramsey. Invece, i matematici cercano di concentrarsi su di loro garantendo che il numero di Ramsey per una cricca di qualche dimensione arbitraria sia maggiore di un numero (il "limite inferiore") e minore di un altro (il "limite superiore").
Paul Erdős e George Szekeres hanno avviato lo studio dei limiti superiore e inferiore per i numeri di Ramsey negli anni '30. Da allora, i matematici hanno fatto relativamente pochi progressi su uno dei due, sebbene Quanta abbia recentemente coperto una nuova dimostrazione innovativa che ha stabilito il miglior limite inferiore in assoluto per alcuni numeri di Ramsey.
La prova di Sah, al contrario, ha migliorato il limite superiore per i numeri Ramsey a due colori. Lo ha ottenuto ottimizzando un metodo che ha avuto origine con Erdős e Szekeres e che un piccolo numero di matematici è riuscito a migliorare da allora. Il risultato di Sah dimostra che una volta che un grafico raggiunge una certa dimensione, contiene inevitabilmente una cricca di una dimensione corrispondente. Molti nel campo vedono la dimostrazione di Sah come il miglior risultato che può essere ottenuto utilizzando la linea di ricerca esistente.
"Sta spingendo il metodo al suo limite logico", ha detto Conlon, che aveva stabilito il precedente miglior limite superiore sul problema.
Una vita di matematica
Sah è cresciuto a Portland, in Oregon, e amava la matematica sin dalla giovane età. "Alcuni dei miei primi ricordi sono di mia madre che mi insegnava l'aritmetica di base", ha detto.
Ha avuto il suo primo assaggio di matematica avanzata nelle competizioni, dove eccelleva. Nell'estate del 2016, quando aveva 16 anni, ha vinto una medaglia d'oro alle Olimpiadi Matematiche Internazionali di Hong Kong. L'anno successivo si iscrisse al MIT (si sarebbe laureato due anni e mezzo dopo).
Mentre era lì, Sah fece due collegamenti cruciali per il suo sviluppo matematico. Il primo è stato con un professore di nome Yufei Zhao . Sah ha preso due lezioni con lui durante il suo primo anno al MIT, incluso un seminario di livello post-laurea sulla combinatoria. Anche tra alcuni degli studenti di matematica più talentuosi del mondo, Sah si è distinto.
"Aveva chiaramente imparato il materiale anche se era solo un primo anno al college", ha detto Zhao.
Il secondo collegamento era con Mehtaab Sawhney , ora 22. Sawhney era un anno avanti a Sah e si era trasferito al MIT quell'autunno dall'Università della Pennsylvania. Si sono conosciuti in classe a settembre e sono diventati amici.
Entro la primavera stavano facendo ricerche insieme. Hanno lavorato su una serie di argomenti all'interno della matematica discreta come la teoria dei grafi, la probabilità e le proprietà delle matrici casuali. Molti dei problemi che hanno affrontato erano relativamente semplici da dichiarare e potevano essere affrontati direttamente, senza bisogno di anni di formazione formale che non avevano ancora.
"Mi piacciono i tipi di problemi a cui puoi pensare dai primi principi e non hai bisogno di aver letto un'enorme quantità di letteratura o conoscere una tonnellata di teoria per iniziare a pensarci", ha detto Sawhney.
Hanno lavorato a stretto contatto con Zhao, che ha suggerito domande di ricerca e li ha istruiti su come scrivere documenti formali di matematica. Spesso Zhao chiedeva loro di esaminare un problema particolare, pensando che potesse tenerli occupati per un po ', solo per farli tornare il giorno successivo con una risposta.
“Sono entrambi individui incredibilmente energici. Lancio una domanda e mi sento di rispondere quasi immediatamente ", ha detto Zhao.
Negli ultimi tre anni Sah e Sawhney hanno scritto dozzine di articoli, molti dei quali insieme. Questo autunno sono stati annunciati come vincitori del Morgan Prize 2021, assegnato congiuntamente ogni anno dalle principali organizzazioni di matematica per riconoscere la migliore ricerca dei matematici universitari. Zhao ha osservato che non ci sono precedenti recenti per ciò che hanno realizzato.
"C'è una lunga tradizione di ricerca universitaria, ma niente di abbastanza al livello di Ashwin e Mehtaab in termini di quantità e qualità", ha detto.
Sah e Sawhney sono ora studenti laureati del primo anno al MIT, anche se a causa della pandemia si trovano attualmente su coste opposte. Sah è tornato a Portland e Sawhney è a Long Island a New York, dove è cresciuto. Ma sono ancora in contatto quasi incessante.
"Ci incontriamo una o due volte al giorno per cinque o sei ore", ha detto Sawhney. "Anche quando non ci incontriamo, ci scambiamo continuamente messaggi."
Dicono di non sentirsi oppressi dal loro successo iniziale. Semmai, li motiva a superarlo.
"Immagino di provare a non concentrarmi sul passato", ha detto Sah. "Non vedo l'ora di vedere cosa posso fare dopo".
Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/mit-undergraduate-math-student-pushes-frontier-of-graph-theory-20201130/ in data Mon, 30 Nov 2020 16:00:31 +0000.