Quando la matematica diventa incredibilmente difficile
Ci piace dire che tutto è possibile. Nel romanzo di Norton Juster The Phantom Tollbooth , il re si rifiuta di dire a Milo che la sua ricerca è impossibile perché "tante cose sono possibili fintanto che non sai che sono impossibili". In realtà, tuttavia, alcune cose sono impossibili e possiamo usare la matematica per dimostrarlo.
Le persone usano il termine "impossibile" in molti modi. Può descrivere cose semplicemente improbabili, come trovare mazzi identici di carte mescolate. Può descrivere compiti che sono praticamente impossibili a causa della mancanza di tempo, spazio o risorse, come la copia a mano di tutti i libri della Library of Congress. Dispositivi come le macchine a moto perpetuo sono fisicamente impossibili perché la loro esistenza contraddirebbe la nostra comprensione della fisica.
L'impossibilità matematica è diversa. Iniziamo con ipotesi inequivocabili e usiamo ragionamento e logica matematici per concludere che un certo risultato è impossibile. Nessuna quantità di fortuna, tenacia, tempo o abilità renderà possibile il compito. La storia della matematica è ricca di prove dell'impossibilità. Molti sono tra i risultati più celebrati in matematica. Ma non è stato sempre così.
La punizione per quella che forse fu la prima prova di impossibilità fu severa. Gli storici ritengono che nel V secolo aEV Ippaso di Metaponto, un seguace del leader del culto Pitagora, scoprì che è impossibile trovare un segmento di linea che possa essere posizionato da un capo all'altro per misurare sia il lato che la diagonale di un pentagono regolare. Oggi diciamo che la lunghezza di una diagonale di un pentagono regolare con lunghezza del lato 1 – il rapporto aureo, $ latex phi $ = $ latex frac {1} {2} $ (1 + $ latex sqrt {5} $ ) – è "irrazionale". La scoperta di Ippaso è andata contro il credo pitagorico che "tutto è numero", così, secondo la leggenda, fu annegato in mare o bandito dai pitagorici.
Più di un secolo dopo, Euclide elevò la linea e il cerchio, considerandole le curve fondamentali della geometria. Successivamente, generazioni di geometri hanno eseguito costruzioni – bisettrici, disegnando bisettrici perpendicolari e così via – usando solo un compasso e un righello. Ma alcune costruzioni apparentemente semplici ostacolarono i geometri greci, assumendo alla fine uno status mitico e irritando i matematici per oltre 2000 anni: trisecare qualsiasi angolo dato, producendo il lato di un cubo con il doppio del volume di uno dato, creando ogni poligono regolare, e costruire un quadrato con la stessa area di un dato cerchio.
Sebbene questi problemi siano di natura geometrica, le prove della loro impossibilità non lo sono. Per dimostrare che non possono essere risolti è necessaria una nuova matematica.
Nel XVII secolo René Descartes fece una scoperta fondamentale: supponendo che ci limitiamo alla bussola e al righello, è impossibile costruire segmenti di ogni lunghezza. Se iniziamo con un segmento di lunghezza 1, diciamo, possiamo costruire un segmento di un'altra lunghezza solo se può essere espresso usando numeri interi, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e radici quadrate (come può fare la sezione aurea).
Quindi, una strategia per dimostrare che un problema geometrico è impossibile – cioè non costruibile – è mostrare che la lunghezza di qualche segmento nella figura finale non può essere scritta in questo modo. Ma farlo richiedeva rigorosamente il nascente campo dell'algebra.
Due secoli dopo, il connazionale di Descartes Pierre Wantzel usò i polinomi (le somme di coefficienti e variabili elevate a potenze) e le loro radici (valori che rendono i polinomi uguali a zero) per attaccare questi problemi classici. Nel problema del raddoppio del cubo, ad esempio, la lunghezza del lato di un cubo con il doppio del volume del cubo unitario è $ latex sqrt {2} $, cheèuna radice del polinomio x ³ – 2 perché ($ latex sqrt {2} $) ³ – 2 = 0.
Nel 1837, Wantzel ha dimostrato che se un numero è costruibile, deve essere una radice di un polinomio che non può essere scomposto e il cui grado (la più grande potenza di x ) è una potenza di 2. Ad esempio, la sezione aurea è una radice di il polinomio di grado due x ² – x – 1. Ma x ³ – 2 è un polinomio di grado tre, quindi ($ latex sqrt {2} $) non è costruibile. Quindi, ha concluso Wantzel, è impossibile raddoppiare il cubo.
In modo simile, ha dimostrato che è impossibile usare gli strumenti classici per trisecare ogni angolo o per costruire alcuni poligoni regolari, come uno con sette lati. Sorprendentemente, tutte e tre le prove di impossibilità sono apparse sulla stessa pagina. Proprio come Isaac Newton e Albert Einstein avevano ciascuno il proprio annus mirabilis , o anni miracolosi, forse dovremmo chiamarla la pagina mirabilis – la pagina miracolosa.
Dimostrare l'impossibilità del problema rimanente, la quadratura del cerchio, richiedeva qualcosa di nuovo. Nel 1882, Ferdinand von Lindemann dimostrò il risultato chiave – che π non è costruibile – dimostrando che è trascendente; cioè, π non è la radice di nessun polinomio.
Questi problemi classici potevano cadere nell'infamia come sirene le cui canzoni attiravano i matematici a schiantarsi sulle coste rocciose dell'impossibilità. Ma le vedo come muse che hanno ispirato generazioni di pensatori creativi.
Lo stesso vale per un problema impossibile più recente, che nasce dal semplice atto di attraversare un ponte. Immagina di vivere a Pittsburgh, la "città dei ponti", come fanno molti dei miei studenti. Un ciclista avventuroso potrebbe chiedersi se è possibile partire da casa, attraversare esattamente una volta ciascuno dei 22 ponti che attraversano i principali fiumi di Pittsburgh e tornare a casa.
Nel 1735, un sindaco prussiano pose lo stesso problema a Leonhard Euler riguardo a Königsberg (ora Kaliningrad), una città con sette ponti che uniscono tre sponde del fiume e un'isola. In un primo momento, Eulero ha liquidato il problema come non matematico: "Questo tipo di soluzione ha poca relazione con la matematica, e non capisco perché ti aspetti che un matematico lo produca, piuttosto che chiunque altro".
Tuttavia Eulero dimostrò presto che era impossibile, e così facendo creò un campo che chiamò geometria della posizione, che ora chiamiamo topologia. Riconobbe che i dettagli esatti – le posizioni precise dei ponti, le forme delle masse continentali e così via – non erano importanti. Tutto ciò che importava erano le connessioni. I matematici successivi semplificarono gli argomenti di Eulero usando quelli che ora chiamiamo grafici o reti. Questa idea di connessione è centrale per lo studio dei social network, Internet, epidemiologia, linguistica, pianificazione ottimale del percorso e altro ancora.
La dimostrazione di Eulero è sorprendentemente semplice. Ha ragionato che ogni volta che entriamo e usciamo da una regione, dobbiamo attraversare due ponti. Quindi ogni massa continentale deve avere un numero pari di ponti. Poiché ogni massa continentale di Königsberg aveva un numero dispari di ponti, non era possibile alcun viaggio di andata e ritorno. Allo stesso modo, i tre ponti per Herrs Island nel fiume Allegheny rendono matematicamente impossibile un circuito ciclistico di Pittsburgh.
Come dimostra questo problema, i risultati dell'impossibilità non sono limitati al regno della matematica astratta. Possono avere implicazioni nel mondo reale, a volte anche politiche.
Recentemente, i matematici hanno rivolto la loro attenzione al gerrymandering . Negli Stati Uniti, dopo ogni censimento, gli stati devono ridisegnare i loro distretti congressuali, ma a volte il partito al governo divide lo stato in forme ridicole per massimizzare i propri seggi e quindi il suo potere politico.
Molti stati richiedono che i distretti siano "compatti", un termine senza una definizione matematica fissa. Nel 1991, Daniel Polsby e Robert Popper hanno proposto 4π A / P² come un modo per misurare la compattezza di un distretto con area A e perimetro P. I valori vanno da 1, per un distretto circolare, a vicino a zero, per quartieri deformi con perimetri lunghi.
Nel frattempo, Nicholas Stephanopoulos ed Eric McGhee hanno introdotto il "divario di efficienza" nel 2014 come misura dell'equità politica di un piano di riorganizzazione distrettuale. Due strategie di gerrymandering sono per garantire che il partito di opposizione rimanga al di sotto della soglia del 50% nei distretti (chiamata cracking), o vicino al livello del 100% (stacking). Entrambe le tattiche costringono l'altra parte a sprecare voti per perdere candidati o per vincere candidati che non hanno bisogno dei voti. Il divario di efficienza coglie il numero relativo di voti sprecati.
Queste sono entrambe misure utili per rilevare il gerrymandering. Ma nel 2018, Boris Alexeev e Dustin Mixon hanno dimostrato che "a volte, un piccolo divario di efficienza è possibile solo con distretti dalla forma bizzarra". Cioè, è matematicamente impossibile disegnare sempre distretti che soddisfano determinati obiettivi di equità di Polsby-Popper e divario di efficienza.
Ma trovare metodi per rilevare e prevenire il gerrymandering partigiano è un'area accademica attiva che attrae molti ricercatori di talento. Come con i problemi dell'antichità e il problema del ponte di Königsberg, sono sicuro che il problema del gerrymandering ispirerà la creatività e spingerà la matematica in avanti.
Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/when-math-gets-impossibly-hard-20200914/ in data Mon, 14 Sep 2020 14:40:42 +0000.