La geometria storta dei viaggi di andata e ritorno

Ti sei mai chiesto come sarebbe la vita se la Terra non avesse la forma di una sfera? Diamo per scontato il viaggio regolare attraverso il sistema solare e i tramonti senza interruzioni offerti dalla simmetria rotazionale del pianeta. Una Terra rotonda rende anche facile capire il modo più veloce per andare dal punto A al punto B : viaggia semplicemente lungo il cerchio che attraversa questi due punti e taglia la sfera a metà. Usiamo questi percorsi più brevi, chiamati geodetiche, per pianificare rotte aeree e orbite satellitari.

Ma se invece vivessimo su un cubo? Il nostro mondo oscillerebbe di più, i nostri orizzonti sarebbero storti e le nostre strade più brevi sarebbero più difficili da trovare. Potresti non passare molto tempo a immaginare la vita su un cubo, ma i matematici lo fanno: studiano l'aspetto del viaggio su tutti i tipi di forme diverse. E una recente scoperta sui viaggi di andata e ritorno su un dodecaedro ha cambiato il modo in cui vediamo un oggetto che guardiamo da migliaia di anni.

Trovare il viaggio di andata e ritorno più breve su una determinata forma potrebbe sembrare semplice come scegliere una direzione e camminare in linea retta. Alla fine tornerai dove hai iniziato, giusto? Beh, dipende dalla forma su cui stai camminando. Se è una sfera, sì. (E, sì, stiamo ignorando il fatto che la Terra non è una sfera perfetta e la sua superficie non è esattamente liscia.) Su una sfera, i percorsi dritti seguono "grandi cerchi", che sono geodetiche come l'equatore. Se cammini intorno all'equatore, dopo circa 25.000 miglia tornerai al punto di partenza e tornerai al punto di partenza.

In un mondo cubico, le geodetiche sono meno evidenti. Trovare un percorso rettilineo su una singola faccia è facile, poiché ogni faccia è piatta. Ma se camminassi in un mondo cubico, come continueresti ad andare "dritto" quando raggiungi un bordo?

C'è un vecchio e divertente problema di matematica che illustra la risposta alla nostra domanda. Immagina una formica su un angolo di un cubo che vuole arrivare all'angolo opposto. Qual è il percorso più breve sulla superficie del cubo per andare da A a B ?

Potresti immaginare molti percorsi diversi per la formica.

Ma qual è il più corto? C'è una tecnica ingegnosa per risolvere il problema. Appiattiamo il cubo!

Se il cubo fosse di carta, potresti tagliare lungo i bordi e appiattirlo per ottenere una "rete" come questa.

In questo mondo piatto, il percorso più breve da A a B è facile da trovare: basta tracciare una linea retta tra di loro.

Per vedere come appare la nostra geodetica del mondo dei cubi, rimetti insieme il cubo. Ecco il nostro percorso più breve.

L'appiattimento del cubo funziona perché ogni faccia del cubo è essa stessa piatta, quindi nulla viene distorto mentre ci si dispiega lungo i bordi. (Un tentativo simile di "aprire" una sfera come questa non funzionerebbe, poiché non possiamo appiattire una sfera senza distorcerla.)

Ora che abbiamo un'idea di come appaiono i percorsi rettilinei su un cubo, rivisitiamo la questione se possiamo camminare lungo un percorso rettilineo e alla fine tornare al punto di partenza. A differenza della sfera, non tutti i percorsi rettilinei fanno un viaggio di andata e ritorno su un cubo.

Ma esistono viaggi di andata e ritorno, con un problema. Notare che la formica potrebbe continuare lungo il percorso che abbiamo tracciato sopra e finire dove ha iniziato. Su un cubo, chiudere il cerchio produce un percorso che assomiglia più a un rombo.

Nel seguire questo percorso di andata e ritorno, la formica deve passare per un altro vertice (punto B ) prima di tornare al punto di partenza. Questo è il problema: ogni percorso rettilineo che inizia e finisce sullo stesso vertice deve passare attraverso un altro vertice del cubo.

Questo risulta essere vero per quattro dei cinque solidi platonici. Sul cubo, tetraedro, ottaedro e icosaedro, qualsiasi percorso rettilineo che inizia e finisce sullo stesso vertice deve passare attraverso un altro vertice lungo la strada. I matematici lo hanno dimostrato cinque anni fa, ma il dodecaedro non era nella loro lista. Torneremo su questo più tardi.

Per avere un'idea del motivo per cui questo fatto sulla geodetica è vero su quattro dei cinque solidi platonici, adotteremo un approccio "rotolante" a questi percorsi e passeremo a un mondo tetraedrico in cui i percorsi rotanti sono un po 'più facili studiare.

Immagina di partire da un vertice di un tetraedro e di uscire su un percorso rettilineo lungo una faccia. Orientiamo il nostro tetraedro in modo che il nostro percorso inizi dalla faccia inferiore.

Quando incontriamo un bordo, rotoleremo il tetraedro, in modo che il nostro percorso continui sulla faccia che finisce sul fondo:

Questo diagramma a cascata ci dà un modo per tracciare il nostro percorso proprio come abbiamo fatto sulla rete del cubo:

Il percorso rotatorio sopra rappresenta questo percorso sulla superficie del tetraedro:

Qui i cinque rotoli del tetraedro corrispondono alle altre cinque facce attraversate dal sentiero.

Ora possiamo immaginare qualsiasi percorso sulla superficie del tetraedro come un percorso in questo spazio rotolante. Chiamiamo il nostro punto di partenza A e vediamo dove finisce questo punto dopo un po 'di caduta.

Quando il nostro percorso parte da A , il tetraedro cade sul lato opposto. Questo solleva A da terra.

Il vertice A è temporaneamente sospeso sopra il nostro spazio di caduta. Non avremmo normalmente indicare posizione A ‘s quando si crea il nostro spazio burattatura, ma ecco dove sembrerebbe se stavamo cercando verso il basso.

Mentre il percorso continua, il tetraedro cade di nuovo. Ci sono due direzioni in cui potrebbe andare, ma in entrambi i casi A finisce di nuovo a terra.

Mentre lasciamo che il tetraedro ruoti via in ogni direzione possibile, finiamo con uno spazio di rotazione che assomiglia a questo:

Questo crea un sistema a griglia a causa del modo in cui le facce triangolari equilateri del tetraedro si incastrano.

Questo sistema a griglia ci dice due cose interessanti sul nostro spazio di caduta. Innanzitutto, i punti in cui i vertici del tetraedro possono atterrare sono tutti "punti reticolo" o punti con coordinate intere. Questo perché un'unità nel nostro sistema di coordinate è una lunghezza del bordo del nostro tetraedro.

Secondo, dai un'occhiata a dove può finire A.

Le coordinate di A sono sempre pari. Ogni volta che A è a terra, tornerà a terra due cadute dopo, quindi i possibili punti di atterraggio per A sono tutti distanziati di due lunghezze di bordo in ciascuna direzione di rotazione.

Ora vediamo cosa dice questo sulla geodetica. Ricorda che un percorso sul tetraedro che inizia e finisce in A sarà un segmento di linea retta nello spazio di rotazione che inizia in A in (0,0) e termina in un altro A. E quando i punti di inizio e di fine del percorso sono entrambi A , c'è qualcosa di molto interessante nel punto medio del percorso.

Anche nel nostro sistema di coordinate storte la formula del punto medio standard funziona ancora, quindi possiamo trovare le coordinate del nostro punto medio calcolando la media delle coordinate dei punti finali. Poiché le coordinate del punto iniziale sono entrambe 0 e le coordinate del punto finale sono entrambe pari, le coordinate del nostro punto medio sono entrambe numeri interi. Ciò rende il punto medio un punto reticolare e, come abbiamo osservato sopra, corrisponde quindi a un vertice del triangolo nello spazio di rotazione.

Ad esempio, il percorso da (0,0) a (4,2) ha il punto medio (2,1), un punto reticolare nella nostra griglia.

Ciò significa che sulla superficie del tetraedro, questo percorso da A a se stesso deve passare attraverso un altro vertice lungo il percorso.

Poiché ogni possibile punto di atterraggio per A ha coordinate pari in questo sistema, il punto medio di ogni percorso geodetico che inizia e finisce in A corrisponderà a un punto reticolare. Questo mostra che ogni geodetica da A ad A sulla superficie del tetraedro deve passare attraverso un altro vertice.

Questa è una versione semplice di un argomento reso rigoroso nel 2015 dai matematici Diana Davis, Victor Dods, Cynthia Traub e Jed Yang. Hanno usato un argomento simile ma molto più complicato per dimostrare lo stesso per il cubo. Dmitry Fuchs ha dimostrato i risultati per l'ottaedro e l'icosaedro l'anno successivo. Per questo motivo sappiamo che per il tetraedro, il cubo, l'ottaedro e l'icosaedro, non ci sono percorsi rettilinei che vanno da un vertice a se stesso che non passano per un altro vertice.

Ma l'esistenza di tali percorsi sulla superficie del dodecaedro è rimasta una questione aperta fino al 2019, quando i matematici Jayadev Athreya, David Aulicino e Patrick Hooper hanno dimostrato che era effettivamente possibile. Infatti, hanno trovato infiniti percorsi rettilinei sulla superficie del dodecaedro che iniziano e finiscono sullo stesso vertice senza passare per altri.

Eccone uno mostrato sulla rete del dodecaedro, nascosto in bella vista.

Per migliaia di anni i solidi platonici sono stati studiati insieme perché hanno così tanto in comune. Ma ora sappiamo qualcosa di nuovo sul dodecaedro che è decisamente diverso. Questa misteriosa scoperta mostra che non importa quanto bene comprendiamo gli oggetti matematici, c'è sempre molto da imparare. Mostra anche che il percorso dal problema alla soluzione non sembrerà sempre una linea retta.

Esercizi

1. Se il cubo ha una lunghezza del bordo 1, quanto è lungo il percorso più breve della formica dal vertice al vertice opposto?

2. Spiegare perché il diagramma seguente non può essere il percorso a cascata per un percorso sul cubo.

3. Una complicazione con i percorsi di rotazione del cubo è che il punto A non ha una posizione finale univoca associata a una data posizione finale del cubo. Ad esempio, anche se il cubo finisce nella stessa posizione rotolando lungo il percorso rosso o quello blu, il punto A finisce in posizioni diverse. Determina dove finisce A dopo essere rotolato lungo il percorso rosso e il percorso blu.

4. Ecco un percorso di rotazione valido per un percorso sul cubo.

Disegna il percorso sulla superficie di un cubo iniziando da A.

Risposte

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Correzione: 13 gennaio 2021

Questa colonna è stata rivista per chiarire che le cinque rotte del tetraedro mostrate corrispondono alle cinque facce "aggiuntive" attraversate dal percorso, poiché il percorso attraversa sei facce in totale.

Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all'URL https://www.quantamagazine.org/the-crooked-geometry-of-round-trips-20210113/ in data Wed, 13 Jan 2021 16:03:53 +0000.