Dirigere l’orchestra matematica dal centro
Emily Riehl vede somiglianze tra la viola, che è cresciuta suonando, e il campo matematico della teoria delle categorie superiori, in cui è attualmente una delle principali partecipanti. Pensa ai due come al "collante" dei rispettivi domini; proprio come la viola crea un suono orchestrale più ricco, "c'è un senso in cui la teoria delle categorie rende la matematica più profonda", ha detto.
La prospettiva categorica emerse in matematica nel 1945 quando Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane pubblicarono il loro articolo radicale, "Teoria generale delle equivalenze naturali". Proponeva un'idea profondamente non convenzionale, sostenendo che la matematica doveva eliminare il segno di uguale e l'intera nozione semplicistica di uguaglianza e sostituirla con l'idea più profonda e sofisticata di "equivalenza".
Invece di chiamare due cose esattamente uguali, Eilenberg e Mac Lane hanno esortato i matematici ad abbracciare nuove sofisticate strutture matematiche che catturassero i molti modi in cui due cose potrebbero essere uguali o equivalenti.
La proposta è stata accolta con scetticismo. Riehl, professore associato di matematica alla Johns Hopkins University, afferma che molti dei primi lettori del lavoro di Eilenberg e Mac Lane si chiedevano: "È anche matematica?"
Ma i dubbi non persistettero a lungo. Oggi, la teoria delle categorie e la sua versione di nuova generazione, la teoria delle categorie superiori, sono centrali in molti campi della matematica, dalla geometria algebrica alla fisica matematica. In quelle aree, Riehl ha detto: "Penso che sarebbe impossibile descrivere il tipo di oggetti di studio di base senza un linguaggio categoriale".
Nella teoria delle categorie superiori, i matematici come Riehl non pensano solo ai modi in cui due oggetti sono equivalenti. Pensano anche alle equivalenze tra equivalenze e alle equivalenze tra equivalenze tra equivalenze e così via verso l'alto in una torre senza fine di relazioni. Queste relazioni di equivalenza vengono catturate in un oggetto matematico astratto chiamato categoria infinito.
Riehl sta attualmente lavorando per espandere l'utilità delle categorie infinite in matematica. Lei e il suo collaboratore di lunga data, Dominic Verity della Macquarie University in Australia, hanno quasi finito con un libro che riscrive le fondamenta massicce e altamente tecniche del campo. Riehl spera che la loro ristrutturazione renderà la teoria delle categorie superiori accessibile a più matematici, offrendo allo stesso tempo nuove intuizioni sul motivo per cui la matematica dell'equivalenza è così potente. In parte a causa di questo lavoro, Riehl è stato recentemente annunciato come il vincitore del 2021 AWM-Joan and Joseph Birman Research Prize in Topology and Geometry .
Quanta Magazine ha recentemente parlato con Riehl del suo prossimo libro e dei suoi anni passati a giocare a football australiano di alto livello, di come la sua identità di donna queer sia stata "protettiva" in matematica e dell'obbligo che i matematici hanno di affrontare le questioni di giustizia sociale di il momento. Questa intervista si basa su interviste telefoniche ed e-mail ed è stata condensata e modificata per chiarezza.
In un'altra intervista hai menzionato che sapevi di voler diventare un matematico poiché "sapevi che quella era una cosa che qualcuno poteva essere". Quando è successo?
Penso che la prima volta che ho sentito parlare del matematico come opzione di carriera è stato in Jurassic Park . Il personaggio di Jeff Goldblum era ovviamente l'unico che prendeva sul serio la minaccia dei dinosauri ed era un matematico. Avevo 9 anni.
Come ci si sente ad avere un piano di carriera in così giovane età?
È stato molto utile. Sono stato anche un musicista crescendo. Suonavo la viola. Sapevo che i ragazzi che praticavano di più erano i migliori. Era solo molto chiara, questa correlazione tra sforzo e risultato. Sapevo fin dalla tenera età che se avessi potuto trovare qualcosa che mi appassionasse, mi avrebbe dato la possibilità di sviluppare davvero una competenza.
Cosa ti ha portato alla teoria delle categorie?
Quando ero uno studente universitario ero davvero attratto dall'algebra astratta. Ho trovato le prove davvero soddisfacenti. Se stai dimostrando qualcosa che si basa su una sorta di intuizione o visualizzazione geometrica, non sono mai stato sicuro di averlo corretto al 100%. Avevo la sensazione che le cose astratte mi fossero in qualche modo più chiare delle cose più concrete, perché ero solo più fiducioso di comprenderle correttamente. Categoria teoria è simile al n ° grado.
Qual è la differenza tra equivalenza ed uguaglianza e cosa si guadagna pensando all'equivalenza?
Nel tempo, i matematici hanno sviluppato una visione sempre più flessibile di cosa significhi per due oggetti essere "uguali". In un certo senso, questa progressione è inevitabile poiché gli oggetti matematici diventano sempre più sofisticati. Due oggetti in una categoria superiore dovrebbero essere considerati "uguali" quando sono equivalenti. Ciò significa essenzialmente "visto come lo stesso da tutti gli altri oggetti nella categoria superiore". Ciò che è sottile è che un'equivalenza tra due oggetti dovrebbe essere registrata come dati aggiuntivi.
Hai paragonato il ruolo di un teorico delle categorie al ruolo di un violista in un'orchestra. In che modo sono simili?
Se hai solo un violoncello e un violino, sono entrambi strumenti molto carini, ma il suono non è pieno come quando aggiungi una viola, una sorta di armonia di medio livello. Penso davvero che sia così che funziona la teoria delle categorie in molta matematica.
Hai un libro di prossima uscita, Elements of ∞-Category Theory , che speri sarà una specie di nuovo testo standard per il campo. Cosa ha ispirato il libro?
Questo libro descrive i risultati di qualcosa come 10 articoli che ho scritto insieme a Dominic Verity a partire dal 2012. Abbiamo sviluppato un nuovo approccio ai fondamenti della teoria delle categorie dell'infinito. Quelle basi sono state sviluppate già da André Joyal e indipendentemente da Jacob Lurie . Ma sono sempre più centrali in certe aree della matematica, e quindi molti matematici stanno cercando di imparare questi argomenti, ma non è facile e dipende in un modo sfortunato dalla scelta di un modello specifico di una categoria infinita.
E in che modo il tuo libro semplifica l'uso della teoria delle categorie superiori?
Quello che io e Dom abbiamo trovato è un modo per fare tutto da zero che ti consenta di iniziare a lavorare indipendentemente dal modello. Quindi, pensando alle categorie dell'infinito in modo più astratto, piuttosto che più concreto. E così ora sentiamo che la nostra prospettiva è abbastanza matura da voler riscrivere i teoremi che abbiamo pubblicato in vari articoli in una forma più accessibile rivolta a qualcuno che sta imparando queste cose per la prima volta.
Il modello specifico e più concreto per le categorie infinito ha avuto origine in gran parte con le massicce opere fondamentali di Jacob Lurie di un decennio o più fa. È giusto definire il tuo lavoro una riscrittura facile da usare di Lurie?
Parte di ciò che stiamo cercando di fare è fornire una riscrittura di Lurie di facile utilizzo. I teoremi sono gli stessi, le dimostrazioni sono molto diverse. Ci sono alcune nuove intuizioni e, francamente, penso che le nuove prove siano migliori.
Perché pensi che Lurie non abbia utilizzato questo framework indipendente dal modello?
Non sono sicuro che Lurie si sia reso conto che era possibile fornire rigorose dimostrazioni indipendenti dal modello, ponendo le basi della teoria delle categorie dell'infinito. Parte del motivo per cui Dom e io siamo in grado di stabilire qualcosa sulla falsariga che sospetto che Lurie avrebbe voluto è che saremmo arrivati più tardi. C'è anche una componente sociologica nella storia. Lurie è stata costretta dalla comunità a scegliere un modello specifico per dimostrare i teoremi sulle categorie dell'infinito, perché le idee erano così nuove e le persone non credevano alle prove altrimenti.
In matematica, la gloria tende ad andare alle persone che dimostrano nuovi teoremi. C'è meno valuta nel migliorare i risultati noti. Come la pensi riguardo al tuo libro?
A volte ho pensato a me stesso come un consulente categorico. Una delle cose che mi dà la più grande soddisfazione quando penso alla mia carriera è che non si tratta tanto dei teoremi che ho dimostrato, ma penso di giocare un ruolo di supporto nella comunità matematica che è prezioso per le persone.
Bill Thurston aveva questo famoso post su MathOverflow a cui risponde, penso fosse uno studente universitario, preoccupato di non essere in grado di contribuire alla matematica, perché non erano sicuri di come si sarebbero sovrapposti a Gauss, Euler e Grothendieck. Thurston ha ricordato a questa persona che la matematica è davvero uno sforzo della comunità e che tutti possono svolgere un ruolo.
Sembra lo stesso tipo di soddisfazione che deriva dal suonare la viola.
Nessuno sceglierebbe di suonare la viola per la gloria. Ma scegli di suonare la viola perché vuoi essere in un'orchestra e ti senti come se fossi al centro dell'orchestra per la maggior parte del tempo. Se c'è una grande ondata, il finale drammatico di The Firebird , sai, sei proprio nel mezzo.
Passando a un altro campo in cui hai eccelso, hai giocato a football australiano ad alto livello, anche giocando per la squadra nazionale femminile degli Stati Uniti.
Sì, è stata una parte enorme della mia vita per sette anni.
Ma non giochi più?
Bene, francamente, ciò che mi ha rovinato è che nel 2017 sono andato in anno sabbatico a Sydney. Sono stato lì per otto mesi e ho giocato un'intera stagione con una vera squadra australiana. È stato davvero, davvero meraviglioso. Ero nella migliore squadra di Sydney. Quando sono tornato, sapevo solo che mi sarebbe sentito un po 'deluso dopo aver avuto la possibilità di giocare in Australia per un'intera stagione. Quindi, scuse ai miei compagni di squadra statunitensi. Quella era la vera ragione. Mi sentivo come se fosse ora di andare avanti.
Tu e Mike Shulman state lavorando a un progetto per tradurre la teoria delle categorie superiori nel linguaggio della teoria dei tipi di omotopia. Hai detto che speri che questo lavoro renderà possibile insegnare le categorie infinito agli studenti universitari tra 100 anni. Perché è questo il sogno?
I matematici sentono di non aver veramente capito qualcosa finché non sembra semplice. Quindi parte del sogno per il mio campo è che un giorno la comunità lo capirà abbastanza bene da poterlo spiegare agli studenti universitari. Questo è un proxy per la semplicità.
Nella tua risposta all'annuncio del Birman Prize, hai ringraziato la rete Women in Topology . Perché quella rete è importante per te?
Nella mia esperienza, la proporzione di matematiche donne varia enormemente a seconda del sottocampo e nella topologia algebrica posso capire esattamente perché è un'area così accogliente per le giovani donne. Ha molto a che fare con sforzi molto specifici e proattivi intrapresi dalla generazione di donne sopra di me che ha lanciato la rete Women in Topology. Meritano molto credito per tutto ciò che è bello nella topologia algebrica oggi.
Perché hai co-fondato un'associazione di matematici LGBT chiamata Spectra ?
Prima di Spectra, non esisteva un'associazione online visibile per i matematici queer. Quindi una delle cose che abbiamo a Spectra che penso sia più potente è la " outlist ", dove essenzialmente ti limiti a fornire volontariamente il tuo nome, la tua posizione e la tua istituzione e puoi indicare che ti identifichi come membro della comunità LGBTQ in matematica . L'intenzione con questo elenco pubblico è che un dottorato di ricerca. uno studente o un postdoc o qualcuno che vuole sapere quanto si sentirebbe a suo agio in una determinata città o in una particolare istituzione potrebbe mettersi in contatto con te.
Hai mai sperimentato discriminazioni come matematico queer?
No, assolutamente no. E penso che in realtà sia stato protettivo per me in molti modi. Penso che ci sia più stigma legato alla femminilità in matematica che necessariamente alla femminilità. In quanto donna queer semi-androgina, penso di inserirmi nella comunità dei matematici meglio di quanto farei se fossi una femmina eterosessuale cis. Penso che significhi anche che ho meno probabilità di essere colpito, il che è una cosa orribile che è successa a molte giovani donne nei campi dove non ci sono abbastanza donne.
Spectra è uscito con una dichiarazione a sostegno di Black Lives Matter. Tu, insieme a più di 1.500 altri matematici, hai anche firmato un impegno a boicottare il lavoro con i dipartimenti di polizia. Perché è stato importante per te firmare quella lettera?
Sono preoccupato. Abbiamo sicuramente avuto problemi con la corruzione e gli abusi nel dipartimento di polizia di Baltimora. E alla Johns Hopkins, c'è questa controversia che circonda una proposta dell'amministrazione di introdurre una forza di polizia privata nel campus. Siamo in una situazione in cui Baltimora è una città a maggioranza nera, mentre la maggior parte delle persone nel campus della Johns Hopkins non è nera. Questo mi rende molto preoccupato per gli studenti neri del campus, incluso uno dei miei dottorati di ricerca. studenti.
Quale ruolo o responsabilità ritieni abbiano i matematici nell'affrontare le questioni sociali del momento?
Penso che sia molto importante che facciamo il più possibile per assicurarci che tutti i nostri studenti abbiano le stesse opportunità di imparare. Se la tua classe ha una persona di colore indigeno nero e nessun altro che assomigli a loro, e tutti gli altri fanno parte di un gruppo di studio e questo individuo no, questo è un grosso problema.
È anche un problema se come insegnante stai usando un linguaggio che suggerisce che certi argomenti sono banali o che questo è qualcosa che tutti hanno imparato all'asilo. Questi sono i tropi che i matematici amano usare, e penso che siano molto alienanti per le persone che, per un motivo o per l'altro, non hanno imparato l'aritmetica modulare all'asilo. Dobbiamo trovare modi per essere alleati e mentori per le persone che non stanno vivendo le stesse esperienze che abbiamo fatto noi.
Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/emily-riehl-conducts-the-mathematical-orchestra-from-the-middle-20200902/ in data Wed, 02 Sep 2020 14:45:48 +0000.