Come risolvere i nostri tre puzzle ispirati a John Conway

Il nostro puzzle October Insights ha celebrato il lavoro del leggendario matematico John Horton Conway invitandoti a giocare con due domande di matematica relative al suo lavoro e ad esplorare un gioco a tempo indeterminato simile al suo famoso Game of Life. Sono stato felice della risposta entusiasta dei lettori.

Ecco gli enigmi e le loro soluzioni:

Puzzle 1: perfezione digitale

C'è un misterioso numero decimale di 10 cifre, abcdefghij . Ciascuna delle cifre è diversa e hanno le seguenti proprietà:

• a è divisibile per 1
• ab è divisibile per 2
• abc è divisibile per 3
• abcd è divisibile per 4
• abcde è divisibile per 5
• abcdef è divisibile per 6
• abcdefg è divisibile per 7
• abcdefgh è divisibile per 8
• abcdefghi è divisibile per 9
• abcdefghij è divisibile per 10

Qual è il numero?

La risposta è: 3.816.547.290.

Diversi lettori hanno risolto questo puzzle. Nigix , Pawel Dabrowski , Douglas Felix , Alexandre Tussiot , Paolo Abiuso e Lazar Ilic hanno fornito spiegazioni dettagliate su come potrebbe essere fatto usando carta e penna.

Per risolvere questo problema, dobbiamo ricordare alcune scorciatoie di divisibilità elementari familiari, da cui ho derivato regole più specifiche per risolvere questo puzzle.

• Un numero divisibile per 2 è pari.
• Un numero divisibile per 10 termina sempre con 0.
• Un numero divisibile per 5 termina con 5 o 0.
• Le somme delle cifre dei numeri divisibili per 3, 6 o 9 sono divisibili per 3.
• Anche il numero decimale formato dalle ultime due cifre di qualsiasi numero divisibile per 4 è divisibile per 4. Se la prima cifra è dispari, la seconda è 2 o 6. Se la prima cifra è pari, la seconda deve essere 0, 4 o 8. (Ciò deriva dal fatto che il numero 20 è divisibile per 4, e quindi lo sono anche 40, 60, 80 e 100).
• Anche il numero decimale formato dalle ultime tre cifre di qualsiasi numero divisibile per 8 è divisibile per 8. Più specificamente, se la prima cifra dei tre è pari e la seconda cifra è dispari, l'ultima cifra è 2 o 6, e le ultime due cifre devono essere 16, 32, 56, 72 o 96 (questo deriva dal fatto che 200 è divisibile per 8, e quindi lo sono 400, 600, 800 e 1000).
• Non esiste una regola semplice per la divisibilità per 7. Questo deve essere verificato manualmente.

Armati di questi, risolviamo il puzzle della perfezione digitale di Conway.

• Poiché b , d , f , he j devono essere pari, sappiamo che le cifre rimanenti a , c , e , g e i sono dispari.
• Secondo la regola per 10, j deve essere 0.
• Secondo la regola per 5, e deve essere 5 .
• Secondo le regole per 3, 6 e 9, a + b + c , d + e + f e g + h + i sono tutti divisibili per 3. Poiché e è 5, l'unico multiplo di tre che è raggiungibile da d + e + f è 15. Quindi d e f devono essere {2, 8} o {4, 6} in qualsiasi ordine.
• Secondo le regole per 4, d deve essere 2 o 6 poiché c è dispari, quindi def è 258 o 654.
• Proviamo def = 258 Secondo le regole per 8, poiché f è pari e g è dispari, gh è 16 o 96, e ghi può essere solo 963 per fare g + h + i un multiplo di 3. Quindi b ha essere 4, e aec deve essere {1, 7}, in quanto questi sono l'unico cifre di sinistra. Quindi le prime 7 cifre devono essere 1472589 o 7412589, nessuna delle quali è divisibile per 7. Quindi def non può essere uguale a 258 e deve essere invece 654.
• Se def è 654, gh deve essere 32 o 72 e b è 8 . I valori possibili per ghi sono 321, 327, 723 o 729, per i quali a e c sono {7, 9}, {1, 9}, {1, 9} o {1, 3}, rispettivamente.
• Questo fornisce otto numeri per verificare la divisibilità per 7, con sei diversi gambi a sei cifre con 654 dalla quarta alla sesta posizione:

789 654 3, 987 654 3, 189 654 3, 189 654 7, 981 654 3, 981 654 7, 183 654 7 e 381 654 7. Solo l'ultimo è divisibile per 7.

• Quindi il numero è 3.816.547.290

Puzzle 2: i triangoli ambigui

C'è un triangolo isoscele che contiene un angolo di x gradi. Il rapporto tra le due diverse lunghezze dei suoi lati è y . Si scopre che non uno ma due triangoli diversi hanno gli stessi identici valori di x e y !

Quali sono i valori di x ed y per questi due triangoli isosceli? Cosa hanno di speciale i triangoli e come si relazionano al lavoro di Conway?

Possiamo trovare l'angolo x applicando la legge dei seni. Dice che i rapporti dei lati di un triangolo divisi per i seni degli angoli corrispondenti sono uguali per tutti i lati:

$ latex frac {a} { sin A} $ = $ latex frac {b} { sin B} $ = $ latex frac {c} { sin C} $

o per un paio di angoli e lati,

$ latex frac {a} {b} $ sin B = sin A

Lascia che l'angolo B misuri x gradi in entrambi i triangoli, come angolo di base nel primo triangolo e come angolo di vertice nell'altro. Questo rende la misura dell'altro angolo A = 180 – 2 x gradi nel primo triangolo e 90 – x / 2 nel secondo. Ci viene detto che il rapporto tra i lati ( a / b ) è uguale in entrambi i triangoli e l'angolo B è x gradi in entrambi i triangoli, quindi il lato sinistro dell'equazione è lo stesso nei due triangoli. Perciò,

sin (180 – 2 x ) = sin (90 – x / 2)

Ma i seni degli angoli complementari sono uguali, quindi sin (180 – 2 x ) è uguale a sin 2 x . Quindi abbiamo 2 x = 90 – x / 2 . Risolvendo per x si ottiene x = 36 gradi. Quindi il primo triangolo ha angoli di 36, 36 e 108 gradi, e il secondo ha angoli di 36, 72 e 72 gradi.

La figura mostra come questi due tipi di triangoli possono combaciare. Il triangolo grande ha angoli che misurano 36, 72 e 72 gradi. È stato diviso in due triangoli bisecando l'angolo di base sul lato sinistro. Il triangolo inferiore è simile al triangolo grande, mentre quello superiore è l'altro tipo di triangolo con angoli di 36, 36 e 108 gradi.

Se la lunghezza della base del triangolo inferiore (a destra) è 1 unità e la base del triangolo grande è unità P , allora il rapporto comune dei due diversi lati è P. Questo rapporto nel triangolo grande è ( P + 1) / P.

Uguagliando i due, otteniamo P = ( P + 1 ) / P o P ² = P + 1. L'unica radice positiva di questa equazione è:

$ latex frac {1+ sqrt {5}} {2} $

qual è la sezione aurea!

Questi due triangoli sono noti come triangoli di Robinson e svolgono un ruolo enorme nelle infinite tassellazioni aperiodiche del piano note come tassellature di Penrose. Gran parte della teoria alla base di queste tassellature è stata sviluppata da Conway e Roger Penrose. Ecco una piastrellatura di questo tipo realizzata interamente con questi triangoli.

Ogni triangolo blu è un tipo di triangolo Robinson e ogni triangolo giallo è l'altro tipo. Un paio di triangoli blu, uniti lungo uno dei loro lati più lunghi, forma una figura, che Conway chiamava aquilone, e un paio di triangoli gialli uniti lungo uno dei loro lati più corti forma una figura, che chiamò dardo. Un aquilone e un dardo si incastrano per formare un rombo con angoli di 72 e 108 gradi. Aquiloni e dardi costituiscono le unità di base di un altro tipo di piastrellatura di Penrose per la quale Conway ha dimostrato molti teoremi interessanti sulla loro non numerabilità, simmetria pentagonale e le loro altre connessioni con la sezione aurea.

Lazar Ilic ha indicato la connessione dei triangoli di Robinson ai pentagoni e JS l'ha illustrata. Con angoli di 36, 72 e 108 gradi, la connessione dei triangoli ai pentagoni è naturale e consente anche ai triangoli di combinarsi in molti modi attorno a un vertice.

Douglas Felix ha sottolineato che la sezione aurea compare anche nel gioco dei soldati di Conway, "nella prova che la 5a fila del tabellone non può essere raggiunta dal giocatore".

Puzzle 3: il gioco delle tessere

Il nostro ultimo gioco in stile Conway " senza giocatori senza fine" , inventato dal lettore Jona Raphael, si gioca come segue:

Hai un piano infinito su cui posizioni le tessere quadrate. Una alla volta, aggiungi nuove tessere in modo casuale in modo che ogni nuova tessera condivida almeno un bordo con una tessera precedentemente posizionata. La probabilità che una tessera venga posizionata in una data posizione è proporzionale al numero di bordi delle tessere precedentemente posizionate che confinano con quella posizione. Definiamo la “pelosità” ( H ) o esteriorità di qualsiasi configurazione come il numero di bordi di piastrelle a vista diviso per il numero di piastrelle.

(Per esempi e figure, fare riferimento alla colonna del puzzle originale .)

Ho posto alcune domande per aiutare i lettori a iniziare le proprie esplorazioni.

1. Una nuova tessera può essere posizionata accanto a un singolo bordo (toccando solo una tessera), in un angolo (toccando due), all'interno di una “U” (toccando tre) o all'interno di un buco (toccando tutte e quattro). In che modo ogni posizionamento influisce sul numero di bordi esposti nella nuova configurazione?

Risposta: Singolo bordo: +2; corner (che potrebbe anche essere un “sandwich” o un “bridge”, come hanno sottolineato diversi lettori): 0; "U": −2; foro: −4.

2. Quali sono i valori minimo e massimo di H ea quali tipi di motivi di piastrelle corrispondono? Potete trovare una formula approssimativa o esatta per i valori massimo e minimo di H all'aumentare del numero di tessere ( n )?

Minimo

Quadrati perfetti: se n è un quadrato perfetto, il motivo che fornisce il valore minimo di pelosità per la sua dimensione è un quadrato pieno di lato a , che ha H = 4 a / no 4 / a , o 4 / $ latex frac {sqrt} $ dove n è il numero di tessere nel quadrato. Il valore è il più alto, H = 4, per n = 1. Questo valore si avvicina a 0 quando il quadrato diventa molto grande.

Non quadrati: se n non è un quadrato perfetto, il minimo H si ottiene "costruendo quadrati strato per strato", nelle parole di Lazar Ilic . Se un ² è il quadrato più grande inferiore a n , allora:

Caso 1: se ( a ² + 1) ≤ n ≤ ( a ² + a ) allora il minimo H è (4 a + 2) / n . Si avvia e si riempie una ( a + 1) esima fila di tessere in più lungo il bordo verticale o orizzontale del quadrato.

Caso 2: se ( a ² + a + 1) ≤ n ≤ ( a ² + 2 a ) allora il minimo H è (4 a + 4) / n . Si inizia e si riempie un'altra riga singola lungo uno degli altri due bordi perpendicolari dopo aver completato la prima ( a + 1) esima riga.

Alcuni lettori si aspettavano che il valore minimo di H sarebbe stato raggiunto quando la configurazione avesse raggiunto una forma simile a un disco perché un cerchio ha il perimetro più piccolo per una data area. Tuttavia, su una matrice quadrata, un “cerchio” avrà sempre molti angoli e proiezioni che tenderanno ad aumentare il perimetro oltre quello dei quadrati, i cui bordi sono molto più levigati.

Massimo

Il valore massimo per un dato numero di tessere n è dato da una semplice linea di tessere attaccate un'estremità all'altra, che ha H = 2 + 2 / n . Questo valore si avvicina a 2 per il grande n .

3. Qual è il valore atteso di H (approssimativo o esatto) per un dato valore di n ?

Questo è un problema difficile, poiché richiede di enumerare tutte le piastrellature che possono essere generate posizionando n piastrelle e quindi sommando i loro bordi ponderati per la loro probabilità di calcolare l' H atteso. Nella tabella seguente, i primi cinque valori attesi sono esatti e gli altri sono approssimativi, in base alla simulazione di Philippe C- .

Come mostra la tabella, i valori minimo, massimo e atteso di H sono gli stessi per n = 1, 2 e 3. Per n molto grandi, il massimo si avvicina a 2 ei valori minimo e atteso si avvicinano a 0 a velocità diverse.

Numero di tessere	Minimo H	H massima	Previsto H
1	4	4	4
2	3	3	3
3	2.67	2.67	2.67
4	2	2.5	2.42
5	2	2.4	2.25
10	1.4	2.2	~ 1.8
100	0.4	2.02	~ 0.7
500	0.18	2.004	~ 0,34
∞	Approcci 0	Approcci 2	Si avvicina a 0 più lentamente

3. Trova la piastrellatura più piccola che sia “bilanciata”, in modo tale che l'aggiunta della piastrella successiva aumenti il ​​numero di bordi esposti quanto lo è per diminuirlo. Riesci a trovare una configurazione simmetrica che abbia questa proprietà?

Affinché una piastrellatura sia bilanciata, il numero previsto di bordi aggiunti posizionando una nuova piastrella deve essere 0. Come abbiamo visto, i bordi vengono aggiunti solo da singoli (due bordi aggiuntivi con un peso di 1). Gli angoli (e i ponti) sono neutri, mentre le U riducono i bordi di due (con un peso di 3) ei fori riducono i bordi di quattro (con un peso di 4). Quindi i bordi singoli devono essere bilanciati con U e / o fori utilizzando le seguenti formule:

Solo single (s) e U ( u ): s = 3 u
Singoli, fori ( h ) e U: 2 s = 16 h + 6 u
Solo singole e buche: s = 8 h

Ecco i tasselli più piccoli per ciascuno dei casi sopra:

4. Trovare la piastrellatura più piccola per la quale il valore atteso di H rimane lo stesso dopo aver aggiunto una piastrella. Qual è la piastrellatura successiva più piccola per la quale questa proprietà è vera?

La configurazione più piccola è un quadrato 2 per 2, che ha quattro tessere e otto bordi, per un H di 2. L'aggiunta di una tessera ovunque dà cinque tessere e 10 bordi, mantenendo un H di 2 .

La piastrellatura successiva più piccola, fornita da Lazar Ilic , è quella mostrata di seguito di dimensione 16 con 24 bordi ( H = 1,5), con probabilità 3/4 e 1/4 di spostarsi a 26 o rimanere a 24 bordi, rispettivamente. Questo dà 17 piastrelle con un'aspettativa di 25.5 bordi, il mantenimento di un H previsto di 1,5.

I lettori hanno esplorato questo gioco in modi interessanti. Ty Rex ha persino tentato di estendere il gioco a più dimensioni. Grazie a tutti per aver contribuito. Spero vi siate divertiti tutti.

Per quanto riguarda il nome del gioco, ho adottato "Game of Tile", suggerito da Glenn Gould come tributo a Conway.

Vorrei raccomandare l'eccellente simulazione di Philippe C- , che ti dà un'idea visiva di come cresce la configurazione. È disponibile su http://logicien.fr/conway/ .

A causa dell'elevata probabilità di riempire U e buchi, la forma complessiva diventa molto sporca e per nulla pelosa all'aumentare del numero di tessere (il nome suggerito da Ty Rex per il gioco era "Blob"). Su mio suggerimento, Philippe C- ha incorporato la possibilità di assegnare pesi personalizzati a ciascun numero di bordi, il che consente di emergere configurazioni più interessanti e pelose con cui puoi giocare nella simulazione.

Il premio Quanta Conway per questo puzzle va a Lazar Ilic . Congratulazioni!

Ci vediamo per nuovi approfondimenti a febbraio 2021. Nel frattempo, stai al sicuro e buone vacanze.

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Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/how-to-solve-our-three-john-conway-inspired-puzzles-20201120/ in data Fri, 20 Nov 2020 15:48:02 +0000.