Come la fisica ha trovato una struttura geometrica con cui giocare la matematica

La geometria simplettica è un campo relativamente nuovo con implicazioni per gran parte della matematica moderna. Ecco di cosa si tratta.

All'inizio del 1800, William Rowan Hamilton scoprì un nuovo tipo di spazio geometrico con proprietà quasi magiche. Codificava il movimento e la matematica in un unico oggetto geometrico luccicante.

Questo fenomeno ha generato un campo chiamato geometria simplettica. Negli ultimi decenni è cresciuto da una piccola raccolta di intuizioni in un'area dinamica di ricerca con connessioni profonde con più aree di matematica e fisica di quanto Hamilton avrebbe mai immaginato.

La geometria simplettica è in definitiva lo studio di spazi geometrici con una struttura simplettica. Ma esattamente cosa significa per uno spazio avere una struttura – per non parlare di questa particolare struttura – ci vuole un po 'di spiegazione.

Gli spazi geometrici possono essere floppy come un telo o rigidi come una tenda. "Il telo è molto malleabile ma poi ottieni, qualunque cosa, un mucchio di bastoncini o impalcature per modellarlo", ha dichiarato Emmy Murphy della Northwestern University. "Lo rende una cosa più concreta."

Gli spazi meno strutturati sono solo raccolte di punti collegati (come il tarp). Una linea è uno spazio monodimensionale di questo tipo. La superficie di una palla è una versione bidimensionale. La mancanza di struttura in questi spazi significa che è facile deformarli senza cambiarli sostanzialmente: muovi la linea e gonfia, rientra o torca la palla, ed entrambi sono ancora gli stessi agli occhi dei topologi, che studiano questi spazi non strutturati.

"Per quanto riguarda i topologi, se inizi con la superficie di una palla, puoi allungarla come vuoi, ma finché non la rompi, è sempre lo stesso spazio per loro", ha detto Ailsa Keating dell'Università di Cambridge. "Sono interessati alla forma generale".

Naturalmente, quando i matematici parlano di deformare uno spazio, non intendono letteralmente tirarlo con le mani. Al contrario, trasformano gli spazi con funzioni: le coordinate di un punto vanno in una funzione e le coordinate per un nuovo punto vengono fuori. Queste trasformazioni portano ogni punto di uno spazio a un nuovo punto nello spazio. È l'equivalente matematico di scuotere il telo.

Puoi anche aggiungere più struttura a uno spazio. Questa struttura migliora le informazioni contenute nello spazio, ma limita anche il modo in cui puoi deformarlo.

Ad esempio, puoi aggiungere una struttura metrica alla superficie di una palla, come le linee di longitudine e latitudine su un globo. Questa struttura consente di misurare la distanza tra due punti. Ma una volta che quella struttura è a posto, non puoi più gonfiare o rientrare la palla senza rompere la struttura originale, perché in questo modo stai modificando le distanze tra i punti. Se gonfiassi il globo, ad esempio, New York e Londra si allontanerebbero ulteriormente.

Una struttura simplettica è un'altra struttura che potresti aggiungere. Fornisce un modo per misurare l'area nello spazio e consente di modificare la forma dello spazio solo se le misurazioni dell'area rimangono costanti.

Hamilton ha scoperto il primo esempio di tale spazio mentre studiava sistemi fisici, come il movimento dei pianeti. Mentre un pianeta si muove attraverso lo spazio, la sua posizione è definita da tre coordinate che specificano la sua posizione lungo gli assi x , ye z . I punti che rappresentano tutte le possibili posizioni del pianeta formano uno spazio tridimensionale.

Hamilton ha osservato che in ogni punto di quello spazio tridimensionale è possibile assegnare tre coordinate aggiuntive che specificano il momento del pianeta lungo ciascun asse. Chiamano x m, y m e z m. Ora hai sei coordinate: tre per la posizione e tre per la quantità di moto. Queste sei coordinate definiscono i punti in un nuovo spazio a sei dimensioni.

Questo spazio a sei dimensioni è un esempio di uno spazio con una struttura simplettica perché consente di misurare l'area. Ecco come funziona.

In ogni punto dello spazio è possibile disegnare sei "vettori" o frecce dirette, che corrispondono alla direzione o momento del pianeta lungo la dimensione in cui punta il vettore. Poiché due vettori possono definire un parallelogramma – uno spazio bidimensionale con area – è possibile prendere due vettori dello spazio e misurare un'area.

Ma per assicurarti che sia un numero diverso da zero, devi scegliere coppie specifiche di vettori: quelli che rappresentano direzione e quantità di moto lungo lo stesso asse. I vettori non corrispondenti, come il vettore di direzione z associato al vettore di momento y , formano parallelogrammi con un'area pari a zero.

Questi vettori accoppiati riflettono anche un'altra importante proprietà degli spazi simplettici, la loro intrinseca connessione a numeri complessi. Questi numeri coinvolgono i , la radice quadrata di −1, e prendono la forma a + bi , dove a è la parte reale e b è la parte immaginaria. Un modo per definire lo spazio simplettico a sei dimensioni è con tre numeri complessi, con le due parti di ciascun numero che forniscono due delle coordinate. Queste due parti corrispondono anche ai due vettori che accoppiamo per misurare l'area.

Quindi per ogni punto, i vettori della direzione e del momento basati su x (ad esempio) non solo forniscono un modo per misurare l'area, ma formano anche uno dei tre numeri complessi che definiscono lo spazio. Questa relazione si riflette nel nome symplectic, che deriva dalla parola greca sumplektikós , l'equivalente del "complesso" di base latina, entrambi i quali significano "intrecciati insieme" – evocando il modo in cui la struttura simplettica e i numeri complessi sono intrecciati.

È anche uno dei motivi principali per cui gli spazi simplettici hanno catturato l'immaginazione dei matematici. “I matematici erano già interessati a numeri complessi; erano già interessati al movimento dei pianeti ", ha detto Murphy. "Quindi, se vieni e dici" C'è questa geometria che mostra perché queste due cose sono diverse manifestazioni della stessa struttura sottostante ", ovviamente la matematica correrà con essa".

La geometria simplettica studia le trasformazioni degli spazi che preservano la struttura simplettica, mantenendo costanti le misurazioni dell'area. Ciò consente una certa libertà, ma non troppo, nei tipi di trasformazioni che è possibile utilizzare. Di conseguenza, la geometria simplettica occupa una sorta di via di mezzo tra la topologia floppy di un telo e la geometria rigida di una tenda. I tipi di trasformazioni che mantengono la struttura simplettica sono chiamati diffeomorfismi hamiltoniani, dopo lo scopritore del fenomeno.

Ma mentre Hamilton scoprì il primo esempio di uno spazio simplettico, non c'era motivo per cui dovesse finire lì. Dopo un po ', i matematici iniziarono a pensare a come sarebbero stati i fenomeni simplettici in spazi geometrici estranei al mondo fisico.

"I matematici puntano sempre alla generalizzazione, quindi forse vogliamo dire: 'Come sarebbe la meccanica classica se, invece di vivere in uno spazio tridimensionale, vivessimo in uno spazio a otto dimensioni?", Ha detto Murphy.

A partire dagli anni '60, Vladimir Arnold fece diverse congetture influenti che catturarono i modi specifici in cui gli spazi simplettici sono più rigidi di quelli topologici ordinari (come la sfera floppy). Uno di questi, noto come congettura di Arnold, prevede che i diffeomorfismi hamiltoniani abbiano un numero sorprendentemente elevato di punti "fissi", che non si muovono durante una trasformazione. Studiandoli, puoi mettere le mani su ciò che rende uno spazio simplettico diverso dagli altri tipi di spazi geometrici.

Alla fine degli anni '80, un matematico di nome Andreas Floer sviluppò una teoria chiamata omologia di Floer, una potente struttura che è ora il modo principale in cui i matematici studiano i fenomeni simplettici. Utilizza oggetti chiamati curve pseudoholomorphic, che, in modo circolare, consentono ai matematici di contare punti fissi e stabilire che un certo numero minimo di essi è intrinseco allo spazio simplettico.

"Ti consente di dimostrare che non puoi semplicemente scuotere i punti fissi", ha detto Keating. "È ciò che ti consente di dimostrare che i punti fissi devono essere lì."

Man mano che la teoria della geometria simplettica è cresciuta, ha trovato connessioni con una gamma sempre più ampia di argomenti in matematica e fisica, dalla teoria delle stringhe alla topologia a bassa dimensione allo studio di una sconcertante dualità matematica chiamata simmetria a specchio . In un solo esempio recente, la geometria simplettica si è rivelata determinante nel risolvere un problema della topologia chiamato problema del piolo rettangolare, come riportato da Quanta in "La nuova prospettiva geometrica rompe il vecchio problema dei rettangoli ".

Tuttavia, per molti matematici, il fascino della geometria simplettica ha poco a che fare con il modo in cui si collega alla fisica o ad altre aree della matematica. Sta nella meraviglia che esiste affatto.

"Iniziamo a trovare bellezza nella struttura stessa, indipendentemente da come si collega a qualsiasi altra cosa", ha detto Murphy.

Correzione: 29 luglio 2020

Un grafico nella versione originale della storia mostrava la traiettoria di una particella che era incompatibile con i vettori di momentum nella grafica. È stato rivisto di conseguenza.


Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/how-physics-gifted-math-with-a-new-geometry-20200729/ in data Wed, 29 Jul 2020 16:20:52 +0000.