Celebrando la giocosa magia di John Horton Conway

Il leggendario matematico John Horton Conway, morto nell'aprile del COVID-19 , si divertì come un bambino nell'inventare puzzle e giochi . Ha eseguito analisi dettagliate di molti enigmi, come il cubo Soma , il solitario piolo e i soldati di Conway . Ha inventato l '" algoritmo Doomsday " (un metodo veloce per calcolare il giorno della settimana nella tua testa – Conway potrebbe farlo in meno di due secondi) e innumerevoli giochi, tra cui Sprouts e il famoso Game of Life , che ha lanciato lo studio del cellulare automi.

Una buona parte del serio lavoro matematico di Conway derivava anche dalla sua propensione per i giochi matematici. Ha dato contributi originali alla teoria dei gruppi ( reticolo di Leech , mostruoso chiaro di luna ), geometria a più dimensioni, tassellature, teoria dei nodi , teoria dei numeri ( numeri surreali ), algebra, logica matematica e analisi.

Questo mese celebriamo il genio giocoso del famoso matematico britannico con due puzzle e un gioco esplorativo. Per prima cosa, giocheremo con un puzzle numerico inventato da Conway che è la perfezione stessa. Poi ci divertiremo con un puzzle geometrico che si riferisce ad alcuni dei suoi lavori visivamente più piacevoli. Infine, ci immergeremo in un gioco a tempo indeterminato contribuito da un lettore di Quanta che ricorda l'iconico Game of Life di Conway.

Puzzle 1: perfezione digitale

C'è un misterioso numero decimale di 10 cifre, abcdefghij . Ciascuna delle cifre è diversa e hanno le seguenti proprietà:

• a è divisibile per 1
• ab è divisibile per 2
• abc è divisibile per 3
• abcd è divisibile per 4
• abcde è divisibile per 5
• abcdef è divisibile per 6
• abcdefg è divisibile per 7
• abcdefgh è divisibile per 8
• abcdefghi è divisibile per 9
• abcdefghij è divisibile per 10

Qual è il numero?

Prima di iniziare questo puzzle, prenditi un minuto per ammirare la perfezione assoluta della sua forma. Scorre in modo completamente naturale, senza un briciolo di arbitrarietà o artificio. Dopo aver letto le prime due condizioni, saprai esattamente quale sarà il resto del puzzle. E poi avere questo insieme naturale di condizioni produce una risposta unica è sorprendente. Per me come creatore di puzzle, questo puzzle di sostituzione delle cifre ispira la stessa sensazione che Mozart ha ispirato a Einstein, che ha detto che la musica di Mozart "era così pura che sembrava essere sempre presente nell'universo, in attesa di essere scoperta dal maestro . " Solo qualcuno dotato numericamente come Conway avrebbe potuto strappare una forma platonica così perfetta dal paradiso dei puzzle!

Puoi risolvere questo enigma eseguendo una ricerca a forza bruta con un computer, ovviamente, ma non è necessario. Ti esorto a farlo usando carta e matita. Tutti i puzzle di sostituzione delle cifre di questo tipo possono essere risolti con un processo in due fasi familiare a coloro che hanno risolto un puzzle di sudoku: prima si deducono le relazioni tra le cifre, il che restringe le possibilità, e poi si fa una sistematica prova-e- ricerca degli errori per le cifre sconosciute. In questo caso, puoi usare i trucchi che hai imparato a scuola per determinare se un numero è divisibile per una data cifra. Se spremete l'ultima goccia di detrazione dalle condizioni del puzzle, non avrete troppi candidati per tentativi ed errori da cercare.

In effetti, se vuoi una sfida più difficile, prova a fare questo puzzle interamente nella tua testa. Dopo tutto, Conway era noto per risolvere i problemi di matematica " a mani nude ". Richiede molta concentrazione e pazienza, ma ti assicuro che si può fare.

Puzzle 2: i triangoli ambigui

C'è un triangolo isoscele che contiene un angolo di x gradi. Il rapporto tra le due diverse lunghezze dei suoi lati è y .

Si scopre che non uno ma due triangoli diversi hanno gli stessi identici valori di x e y !

Quali sono i valori di x ed y per questi due triangoli isosceli? Cosa hanno di speciale i triangoli e come si relazionano al lavoro di Conway?

Per la nostra offerta finale, allunga di nuovo la mano verso quella carta e quella matita. In effetti, procurati diversi fogli di carta millimetrata. Quest'ultimo gioco ti metterà in uno stato d'animo Conway: scaraboccherai piccoli diagrammi e creerai strutture diverse, proprio come ha fatto con il suo gioco Sprouts e il Gioco della vita. Il nostro gioco, che crea strutture come i polyominoes , è stato contribuito dal lettore di Quanta Jona Raphael.

Puzzle 3: modelli casuali pelosi

Hai un piano infinito su cui posizioni le tessere quadrate. Una alla volta, aggiungi nuove tessere in modo casuale in modo che ogni nuova tessera condivida almeno un bordo con una tessera precedentemente posizionata. La probabilità che una tessera venga posizionata in una data posizione è proporzionale al numero di bordi delle tessere precedentemente posizionate che confinano con quella posizione.

Considera questi due esempi:

• Se è presente una sola tessera, la seconda tessera ha la stessa probabilità di finire a nord, sud, est o ovest della tessera originale.

• Se c'è un anello di otto tessere, allora ci sono 12 posizioni intorno all'esterno dell'anello e una posizione nel mezzo, tutte valide per il posizionamento della tessera successiva. Quella al centro ha una probabilità quattro volte maggiore di ricevere la tessera rispetto a qualsiasi posizionamento esterno perché condivide quattro bordi con le tessere posizionate in precedenza, anziché solo una.

Definiamo la “pelosità” ( H ) o esteriorità di qualsiasi configurazione come il numero di bordi di piastrelle a vista diviso per il numero di piastrelle. Per esempio:

• Con una piastrella sul piano, H = 4 bordi ÷ 1 piastrella = 4.
• Per un anello di otto tessere, H = 16 bordi ÷ 8 tessere = 2.
• Per una fila di otto tessere, H = 18 bordi ÷ 8 tessere = 2,25.

Il reciproco di H può essere chiamato interiorità o compattezza della configurazione.

Lo scopo di questo gioco è la pura esplorazione. A differenza della maggior parte dei giochi a cui siamo abituati, ma come Game of Life di Conway, è un gioco " senza giocatori senza fine" , come Conway ha descritto la sua creazione. Per me, le dinamiche del nostro gioco assomigliano a come i bambini adulti bilanciano il loro desiderio di stare vicino ai loro genitori con il loro desiderio di mettersi in proprio. Il parametro H è una misura di quanto si disperdono pur rimanendo in contatto minimo, mentre la sua reciproca, interiorità, è una misura di quanto si stringono .

Ecco alcune domande per guidare la tua esplorazione di questo mondo quadrato.

1. Una nuova tessera può essere posizionata accanto a un singolo bordo (toccando solo una tessera), in un angolo (toccando due), all'interno di una “U” (toccando tre) o all'interno di un buco (toccando tutte e quattro). In che modo ogni posizionamento influisce sul numero di bordi esposti nella nuova configurazione?
2. Quali sono i valori minimo e massimo di H ea quali tipi di motivi di piastrelle corrispondono? Potete trovare una formula approssimativa o esatta per i valori massimo e minimo di H all'aumentare del numero di tessere ( n )?
3. Qual è il valore atteso di H (approssimativo o esatto) per un dato valore di n ?
4. Trova la piastrellatura più piccola che sia “bilanciata”, in modo tale che l'aggiunta della piastrella successiva aumenti il ​​numero di bordi esposti tanto quanto lo è per diminuirlo. Riesci a trovare una configurazione simmetrica che abbia questa proprietà?
5. Trova la tessera più piccola per la quale il valore atteso di H rimane lo stesso dopo aver aggiunto una tessera. Qual è la successiva piastrellatura più piccola per cui questa proprietà è vera?

Questo è tutto per il gioco diretto. Ora vai avanti ed esplora questo gioco da solo. Prova a trovare alcune nuove domande interessanti a cui rispondere. Forse troverai una nuova struttura (per favore pubblica immagini di configurazioni interessanti!) O prova un teorema. E già che ci sei, suggerisci un nome per questo gioco.

Gioca e fai sorridere lo spirito di Conway!

Nota del redattore: il lettore che presenta la soluzione più interessante, creativa o perspicace (secondo il giudizio del giornalista) nella sezione commenti riceverà una maglietta di Quanta Magazine o uno dei due libri di Quanta , Alice e Bob incontrano il muro di fuoco o The Prime Number Conspiracy (a scelta del vincitore). E se desideri suggerire un puzzle preferito per una futura colonna Approfondimenti, invialo come commento di seguito, chiaramente contrassegnato come "NUOVO PUZZLE SUGGERITO". (Non apparirà online, quindi le soluzioni al puzzle di cui sopra dovrebbero essere inviate separatamente.)

Tieni presente che potremmo trattenere commenti per il primo giorno o due per consentire contributi indipendenti da parte dei lettori .

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Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/three-math-puzzles-inspired-by-john-horton-conway-20201015/ in data Thu, 15 Oct 2020 16:00:47 +0000.