Alle Olimpiadi della matematica, i computer si preparano a vincere l’oro
La 61a Olimpiade Matematica Internazionale , o IMO, inizia oggi. Potrebbe passare alla storia per almeno due motivi: a causa della pandemia COVID-19 è la prima volta che l'evento si tiene da remoto e potrebbe anche essere l'ultima volta che l'intelligenza artificiale non compete.
In effetti, i ricercatori vedono l'IMO come il banco di prova ideale per macchine progettate per pensare come gli esseri umani. Se un sistema di intelligenza artificiale può eccellere qui, avrà corrisposto a una dimensione importante della cognizione umana.
"L'IMO, per me, rappresenta la classe più difficile di problemi che alle persone intelligenti può essere insegnato a risolvere in modo in qualche modo affidabile", ha affermato Daniel Selsam di Microsoft Research. Selsam è uno dei fondatori della IMO Grand Challenge , il cui obiettivo è addestrare un sistema di intelligenza artificiale a vincere una medaglia d'oro alla più importante competizione di matematica al mondo.
Dal 1959, l'IMO ha riunito i migliori studenti di matematica pre-universitari del mondo. In ciascuna delle due giornate della competizione, i partecipanti hanno quattro ore e mezza per rispondere a tre problemi di difficoltà crescente. Guadagnano fino a sette punti per problema ei capocannonieri portano a casa medaglie, proprio come ai Giochi Olimpici. I partecipanti IMO più decorati diventano leggende nella comunità dei matematici. Alcuni sono diventati matematici di ricerca superlativi.
I problemi IMO sono semplici, ma solo nel senso che non richiedono matematica avanzata – anche il calcolo è considerato oltre la portata della concorrenza. Sono anche diabolicamente difficili. Ad esempio, ecco il quinto problema del concorso del 1987 a Cuba:
Sia n un numero intero maggiore o uguale a 3. Dimostrare che esiste un insieme di n punti nel piano tale che la distanza tra due punti qualsiasi è irrazionale e ogni insieme di tre punti determina un triangolo non degenere con area razionale.
Come molti problemi IMO, questo potrebbe sembrare impossibile all'inizio.
"Leggi le domande e pensi, 'Non posso farlo'", ha detto Kevin Buzzard dell'Imperial College di Londra, membro del team IMO Grand Challenge e medaglia d'oro all'IMO 1987. "Sono domande estremamente difficili che sono accessibili agli scolari se mettono insieme tutte le idee che conoscono in modo brillante."
Risolvere i problemi IMO spesso richiede un lampo di intuizione, un primo passo trascendente che l'IA di oggi trova difficile, se non impossibile.
Ad esempio, uno dei risultati più antichi in matematica è la prova di Euclide del 300 a.C. che ci sono infiniti numeri primi. Inizia con il riconoscimento che puoi sempre trovare un nuovo numero primo moltiplicando tutti i numeri primi conosciuti e aggiungendo 1. La dimostrazione che segue è semplice, ma arrivare all'idea iniziale è stato un atto artistico.
"Non puoi convincere i computer a ottenere quell'idea", ha detto Buzzard. Almeno non ancora.
Il team IMO Grand Challenge sta utilizzando un programma software chiamato Lean , lanciato per la prima volta nel 2013 da un ricercatore Microsoft di nome Leonardo de Moura . Lean è un " assistente di prova " che controlla il lavoro dei matematici e automatizza alcune delle parti noiose della scrittura di una dimostrazione.
De Moura e i suoi colleghi vogliono utilizzare Lean come un "risolutore", in grado di elaborare le proprie prove dei problemi IMO. Ma al momento non riesce nemmeno a capire i concetti coinvolti in alcuni di questi problemi. Se andrà meglio, due cose devono cambiare.
Innanzitutto, Lean ha bisogno di imparare di più la matematica. Il programma si basa su una libreria di matematica chiamata mathlib , in continua crescita. Oggi contiene quasi tutto ciò che una laurea in matematica potrebbe sapere alla fine del secondo anno di college, ma con alcune lacune elementari che contano per l'IMO.
La seconda sfida più grande è insegnare a Lean cosa fare con la conoscenza di cui dispone. Il team IMO Grand Challenge vuole addestrare Lean ad avvicinarsi a una prova matematica nel modo in cui altri sistemi di intelligenza artificiale si avvicinano già con successo a giochi complicati come gli scacchi e il Go, seguendo un albero decisionale fino a trovare la mossa migliore.
"Se riusciamo a far sì che un computer abbia quella brillante idea semplicemente avendo migliaia e migliaia di idee e rifiutandole tutte finché non si imbatte in quella giusta, forse possiamo fare la IMO Grand Challenge", ha detto Buzzard.
Ma cosa sono le idee matematiche? È sorprendentemente difficile da dire. Ad un livello elevato, molto di ciò che fanno i matematici quando affrontano un nuovo problema è ineffabile.
"Un passo fondamentale in molti problemi IMO è fondamentalmente giocare con esso e cercare modelli", ha detto Selsam. Ovviamente, non è ovvio come si dice a un computer di "giocare" con un problema.
A un livello basso, le prove matematiche sono solo una serie di passaggi logici molto concreti. I ricercatori dell'IMO potrebbero provare a formare Lean mostrandogli tutti i dettagli delle precedenti prove dell'IMO. Ma a quel livello granulare, le prove individuali diventano troppo specializzate per un dato problema.
"Non c'è niente che funzioni per il problema successivo", ha detto Selsam.
Per aiutare in questo, il team IMO Grand Challenge ha bisogno di matematici per scrivere prove formali dettagliate dei precedenti problemi IMO. Il team prenderà quindi queste prove e proverà a distillare le tecniche, o strategie, che le fanno funzionare. Quindi addestreranno un sistema di intelligenza artificiale a cercare tra quelle strategie una combinazione "vincente" che risolva problemi IMO mai visti prima. Il trucco, osserva Selsam, è che vincere in matematica è molto più difficile che vincere anche i giochi da tavolo più complicati. In quei giochi, almeno conosci le regole in vigore.
"Forse in Go l'obiettivo è trovare la mossa migliore, mentre in matematica l'obiettivo è trovare il gioco migliore e poi trovare la mossa migliore in quel gioco", ha detto.
La IMO Grand Challenge è attualmente un colpo di luna. Se Lean partecipasse alla competizione di quest'anno, "probabilmente otterremmo uno zero", ha detto de Moura.
Ma i ricercatori hanno diversi parametri di riferimento che stanno cercando di raggiungere prima dell'evento del prossimo anno. Hanno in programma di riempire i buchi in mathlib in modo che Lean possa capire tutte le domande. Sperano anche di avere le prove formali dettagliate di dozzine di precedenti problemi IMO, che inizieranno il processo per fornire a Lean un playbook di base da cui attingere.
A quel punto una medaglia d'oro potrebbe essere ancora lontana dalla portata, ma almeno Lean potrebbe schierarsi per la gara.
"In questo momento stanno accadendo molte cose, ma non c'è niente di particolarmente concreto su cui puntare", ha detto Selsam. "Anno diventa un vero sforzo."
Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all’URL https://www.quantamagazine.org/at-the-international-mathematical-olympiad-artificial-intelligence-prepares-to-go-for-the-gold-20200921/ in data Mon, 21 Sep 2020 15:25:44 +0000.