Alcuni problemi di matematica sembrano impossibili. Può essere una buona cosa.

Costruisci un ottagono convesso con quattro angoli retti.

Probabilmente la dice lunga su di me come insegnante che assegno problemi come questo. Osservo gli studenti che cercano di disporre consecutivamente gli angoli retti. Quando ciò non funziona, alcuni provano ad alternare gli angoli retti. Fallendo di nuovo, le inseriscono in modo casuale nel poligono. Scarabocchiano, cancellano e discutono. Il suono della lotta produttiva è musica per le orecchie di un insegnante.

Poi si insospettiscono e iniziano a fare domande. “Hai detto quattro angoli retti. Volevi davvero tre? " "Sei sicuro di voler dire convesso?" “Quattro angoli retti formerebbero fondamentalmente un rettangolo. Come possiamo ottenere altri quattro lati nel nostro ottagono? " Ascolto attentamente, annuendo, riconoscendo le loro intuizioni.

Alla fine qualcuno fa la domanda che stavano facendo in punta di piedi, la domanda che stavo aspettando: "Aspetta, è anche possibile?"

Questa domanda ha il potere di cambiare la mentalità in matematica. Coloro che pensano in modo ristretto a condizioni specifiche devono ora pensare in modo ampio a come queste condizioni si adattano. Chi lavora all'interno del sistema deve ora fare un passo indietro ed esaminare il sistema stesso. È una domanda che è stata posta più e più volte nella storia della matematica, da coloro che lavorano su problemi che vanno dalla quadratura del cerchio alla circumambulazione della città di Königsberg . Ed è una domanda che ci aiuta a plasmare cos'è la matematica e come la comprendiamo.

Ad esempio, trovare un ottagono con determinate proprietà è un compito matematico molto diverso dal mostrare che non potrebbe esistere un tale ottagono. Giocando con ottagoni diversi, potremmo imbatterci in uno che ha quattro angoli retti.

Ma la fortuna non gioca un ruolo nel dimostrare che un simile ottagono non può esistere. Ci vuole una conoscenza approfondita, non solo dei poligoni, ma della matematica stessa. Per considerare l'impossibilità, dobbiamo capire che il solo affermare che una cosa esiste non lo rende tale. Definizioni matematiche, proprietà e teoremi vivono tutti in una tensione nata dall'interconnessione. Nel cercare di immaginare il nostro ottagono con quattro angoli retti, lavoriamo all'interno di quelle regole interconnesse.

Ma per realizzare che il nostro ottagono è impossibile, dobbiamo fare un passo indietro e guardare al quadro generale. Quali principi matematici e geometrici potrebbero essere violati da un ottagono con quattro angoli retti? Qui, il teorema della somma degli angoli del poligono è un buon punto di partenza.

La somma degli angoli interni di un poligono a n lati è data dalla formula:

S = ( n – 2) × 180º

Questo perché ogni poligono con n lati può essere tagliato in ( n – 2) triangoli, ciascuno con angoli interni totali di 180º.

Per un ottagono, ciò significa che gli angoli interni si sommano a (8 – 2) × 180º = 6 × 180º = 1080º. Ora, se quattro di questi angoli sono retti, ciascuno con una misura di 90º, ciò rappresenta 4 × 90º = 360º della somma degli angoli, che lascia 1080º – 360º = 720º da dividere tra i quattro angoli rimanenti dell'ottagono.

Ciò significa che la misura media di questi quattro angoli rimanenti deve essere:

$ latex frac {720º} {4} $ = 180º

Ma gli angoli interni di un poligono convesso devono misurare ciascuno meno di 180º, quindi questo è impossibile. Non può esistere un ottagono convesso con quattro angoli retti.

Per dimostrare l'impossibilità in questo modo è necessario fare un passo indietro e vedere come diverse regole matematiche – come la formula della somma degli angoli del poligono e la definizione di un poligono convesso – esistono in tensione. E poiché le prove di impossibilità si basano sul pensare in modo ampio attraverso le regole, spesso c'è più di un modo per costruire la prova.

Diamo un'occhiata alla nostra precedente osservazione sui quattro angoli retti che formano un rettangolo.

Se un ottagono avesse quattro angoli retti, camminare intorno a quegli angoli ci porterebbe al punto di partenza: sarebbe come se avessimo camminato completamente attorno a un rettangolo. Questa intuizione ci porta a una regola che ci fornisce una diversa prova dell'impossibilità. È noto che la somma degli angoli esterni di un poligono convesso è sempre di 360º. Poiché anche un angolo esterno di un angolo retto è un angolo retto, i nostri quattro angoli retti occuperebbero tutti i 360 ° della misura dell'angolo esterno dell'ottagono. Questo non lascia nulla per i restanti quattro angoli, stabilendo ancora una volta che il nostro ottagono è impossibile.

Dimostrare che qualcosa è impossibile è un potente atto matematico. Sposta la nostra prospettiva da quella di chi segue le regole a quella di chi applica le regole. E per far rispettare le regole, devi prima capirle. Devi sapere non solo come applicarli, ma quando non si applicano. E devi anche essere alla ricerca di situazioni in cui le regole potrebbero essere in conflitto tra loro. La nostra esplorazione dell'ottagono mostra l'interazione tra poligoni, convessità, angoli retti e somme angolari. Ed evidenzia come S = ( n – 2) × 180º non sia solo una formula: è una condizione in un mondo di condizioni concorrenti.

Le prove di impossibilità possono aiutarci a comprendere meglio tutte le aree della matematica. A scuola, le lezioni di probabilità spesso iniziano con il lancio di molte monete immaginarie. Invito gli studenti a creare una moneta ingiusta – una che è orientata verso l'uscita di testa o croce – che abbia la seguente proprietà: quando la moneta viene lanciata due volte, è più probabile che i risultati dei due lanci siano diversi dallo stesso. In altre parole, è più probabile che tu ottenga testa e croce piuttosto che testa e testa o croce e croce.

Dopo alcuni ritocchi e un po 'di frustrazione produttiva, gli studenti arrivano a un'ipotesi interessante: risultati diversi non sono mai più probabili dello stesso risultato. Alcune algebre lo illuminano e suggeriscono una simmetria sottostante.

Diciamo che la moneta è orientata verso le teste. Chiameremo la probabilità di capovolgere le teste $ latex frac {1} {2} $ + k , dove 0 < k ≤ $ latex frac {1} {2} $. Il fatto che k > 0 garantisce che testa sia più probabile che croce, che ha probabilità $ latex frac {1} {2} $ – k , poiché le due probabilità devono sommarsi a 1.

Se lanciamo la moneta due volte, la probabilità di ottenere due teste o due croce sarà

$ latex left ( frac {1} {2} + k right) ^ {2} + left ( frac {1} {2} -k right) ^ {2} $.

Qui stiamo aggiungendo la probabilità di ottenere due teste (a sinistra) con la probabilità di ottenere due croci (a destra). Usando l'algebra possiamo semplificare la probabilità di ottenere lo stesso risultato su entrambi i flip:

$ latex left ( frac {1} {2} + k right) ^ {2} + left ( frac {1} {2} -k right) ^ {2} $ = $ latex frac { 1} {4} $ + k + k ² + $ latex frac {1} {4} $ – k + k ² = $ latex frac {1} {2} $ + 2 k².

Poiché k> 0 , sappiamo che $ latex frac {1} {2} $ + 2 k ²> $ latex frac {1} {2} $, il che significa che è più probabile che no che i risultati dei salti essere lo stesso. Infatti, vediamo che anche se k = 0 (quando la moneta è equa), la probabilità degli stessi risultati è esattamente $ latex frac {1} {2} $, rendendo la probabilità di lanci diversi anche $ latex frac {1} {2} $. Lo stesso risultato non sarà mai meno probabile di risultati diversi.

Come per il problema dell'ottagono, vediamo all'opera tensioni matematiche in competizione: alterare la probabilità di ottenere un lato della medaglia cambia la probabilità di ottenere l'altro, e questa interconnessione governa ciò che è possibile in termini di risultati a doppio giro. Esponiamo quelle tensioni cercando di fare l'impossibile.

Possiamo esporre queste tensioni in ogni area della matematica. Prova a trovare sei numeri interi consecutivi che sommano a 342, e un po 'di perseveranza porterà a una migliore comprensione della parità. (Il fatto che interi consecutivi si alternino tra pari e dispari influisce sulla loro somma.) La ricerca di un polinomio cubico con coefficienti interi che abbia tre radici non reali ti insegnerà l'importanza dei coniugati complessi, coppie di numeri complessi il cui prodotto e somma sono sempre reali. E se provi a inscrivere un rombo non quadrato in un cerchio, te ne andrai dopo aver scoperto un'importante proprietà dei quadrilateri ciclici: gli angoli opposti in un quadrilatero i cui vertici si trovano su un cerchio devono sommarsi a 180 gradi.

Affrontare l'impossibile ci invita a esplorare i confini dei nostri mondi matematici. L'impossibile in sé è già una sorta di generalizzazione, quindi è naturale continuare a generalizzare: un ottagono non può avere quattro angoli retti, ma che dire di un decagono? Che ne dici di un poligono convesso con n > 4 lati? Questo tipo di domande va contro i confini dei nostri mondi matematici e approfondisce la nostra comprensione di essi.

Se ci spingiamo oltre, l'impossibile può persino ispirare la creazione di nuovi mondi matematici. Per dimostrare l'impossibilità di quadrare il cerchio – un problema che ha almeno 2000 anni – avevamo bisogno della moderna teoria dei numeri trascendentali che non possono essere radici di polinomi interi. Per risolvere il problema dei ponti di Königsberg, Eulero ha trasformato isole e ponti in vertici e bordi, dando vita ai ricchi campi della teoria dei grafi e della teoria delle reti, con le loro numerose applicazioni. Prendere la radice quadrata di −1 ha portato a un sistema aritmetico completamente nuovo . E il logico Kurt Gödel ha cambiato per sempre il panorama della matematica quando ha dimostrato che è impossibile dimostrare che tutto ciò che è vero è vero.

Quindi la prossima volta che sei bloccato su un problema di matematica, chiediti: "È possibile?" Lottare contro l'impossibilità potrebbe darti una migliore comprensione di ciò che è effettivamente possibile. Potresti persino creare nuovi calcoli lungo la strada.

Esercizi

1. Trova l'area del triangolo le cui lunghezze laterali sono 46, 85 e 38.

2. Sia f ( x ) = 2 x ³ + bx ² + cx + d . Trova interi B, C e D tale che f $ lattice left ( frac {1} {4} right) $ = 0.

3. Trova un quadrato perfetto, le cui cifre siano tutte nell'insieme {2, 3, 7, 8}.

Risposte

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Esistono diversi modi per stabilire l'impossibilità di questo polinomio. Ad esempio, queste condizioni violano il teorema della radice razionale, che dice che qualsiasi radice razionale di un polinomio deve essere un rapporto di un fattore del termine costante diviso per un fattore del coefficiente direttivo.

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Un fatto curioso sui quadrati perfetti ci mostra che questo compito è impossibile. La cifra delle unità di un quadrato perfetto può essere solo 0, 1, 4, 5, 6 o 9. Questo può essere mostrato semplicemente quadrando ogni cifra possibile delle unità e osservando i possibili risultati. Poiché nessun quadrato perfetto può terminare con 2, 3, 7 o 8, non esiste un quadrato perfetto con solo quelle cifre.

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Questa è la traduzione automatica di un articolo pubblicato su Quanta Magazine all'URL https://www.quantamagazine.org/some-math-problems-seem-impossible-that-can-be-a-good-thing-20201118/ in data Wed, 18 Nov 2020 14:24:15 +0000.